指导三集合与常用逻辑用语

专题研读 解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误，审题或忽视隐含条件错误，运算错误，数学思想、方法运用错误，逻辑性错误，忽视等价性变形错误等.下面我们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析， 为你提个醒，力争做到“会而对，对而全”.溯源回扣一 集合与常用逻辑用语1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义 ——抓住集合的代表元素.如：{x|ylgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函数图象上的点集.[回扣问题1]集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.解析A＝R，B表示直线x－y＝1上的点集，∴A∩B＝?.答案?2.遇到A∩B＝?时，你是否注意到“极端”情况：A＝?或B＝?；同样在应用条件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B时，不要忽略A＝?的情况.＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则[回扣问题2]设集合A实数m组成的集合是____________.解析由题意知集合A＝{2，3}，由A∩B＝B知B?A.①当B＝?时，即方程mx－1＝0无解，此时m＝0符合已知条件；11②当B≠?时，即方程mx－1＝0的解为2或3，代入得m＝2或3.1 1综上，满足条件的 m组成的集合为 0，2，3.1 1 3.注重数形结合在集合问题中的应用， 列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值 .[回扣问题

3]

已知全集

I＝R，集合

A＝{x|y＝

1－x}，集合

B＝{x|0≤x≤2}，则(?IA)∪B等于(

)A.[1，＋∞)C.[0，＋∞)

B.(1，＋∞)D.(0，＋∞)解析 A＝(－∞，1]，B＝[0，2]，∴?IA＝(1，＋∞)，则(?IA)∪B＝[0，＋∞).答案 C4.“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否命题p的结论.[回扣问题4] 已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题是________，命题的否定是________.答案 已知实数a，b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b已知实数

a，b，若|a|＋|b|＝0，则

a≠b5.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是 B”是指B能推出A，且A

不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指 A能推出B，且B不能推出

A.[回扣问题5] (2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，当x≤2时不一定有x≥0，而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.答案 B6.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词 .[回扣问题6] 命题p：?x∈R，ex－x－1>0，则綈p是________.解析 “?”变为“?”，并将结论否定，∴綈p：?x0∈R，ex0－x0－1≤0.答案 ?x0∈R，ex0－x0－1≤07.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.[回扣问题7]若存在∈[1，3]，使得不等式2＋(a－2)x－2>0成立，则实数xaax的取值范围是________.解析“存在a∈[1，3]，使不等式ax2＋－2)x－2>0成立”的否定是“对任意(aa∈[1，3]，不等式ax2＋(a－2)x－2≤0成立”，即(x2＋x)a－2x－2≤0对a∈[1，3]恒成立，设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，其中a∈[1，3].f（1）≤0，2若f(a)≤0，则解得－1≤x≤3.f（3）≤0，2故要使原不等式成立，则 x>3或x<－1.2答案 (－∞，－1)∪3，＋∞溯源回扣二 函数与导数1.求函数的定义域，关键是依据含自变量 x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏 .x1[回扣问题1]函数f(x)＝lnx－1＋x2的定义域为()A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)x≥0，x≥0，解析要使函数有意义，应有x则>0，x（x－1）>0，x－1解得x>1.答案 B2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，要注意定义域优先的原则.[回扣问题 2] (2017·全国Ⅱ卷改编)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________.解析要使函数有意义，则x2－2x－，解得x<－2或，结合二次函数、对8>0x>4数函数的单调性和复合函数同增异减的原则得函数的单调增区间为(4，＋∞).答案(4，＋∞)3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .函数y＝f(x)为奇函数，但不一定有f(0)＝0成立.[回扣问题3]函数f(x)＝ln（1－x2）的奇偶性是______.|x－2|－2解析由1－x2>0且－－≠，知f(x)的定义域为－，∪(0，1)，关于原点|x2|20(10)lg（1－x2）对称，则f(x)＝ ，xlg（1－x2）又f(－x)＝x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.答案 奇函数4.理清函数奇偶性的性质.f(x)是偶函数?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数?f(－x)＝－f(x)；(3)定义域含0的奇函数满足f(0)＝0.[回扣问题4] 已知f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是________.解析 因为f(x)为偶函数，所以 f(lgx)＝f(|lgx|)，从而由f(lgx)>f(1)，得f(|lgx|)>f(1)，又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，1所以|lgx|<1，即－1<lgx<1，解得10<x<10.1答案 10，105.记准函数周期性的几个结论：由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：(1)函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；1(2)若f(x＋a)＝f（x）(a≠0)成立，则T＝2a；1(3)若f(x＋a)＝－f（x）(a≠0)恒成立，则T＝2a；(4)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则T＝2a.1[回扣问题 5] 对于函数 f(x)定义域内任意的 x，都有 f(x＋2)＝－f（x），若当2<x≤3时，f(x)＝x，则f(2017)＝________.解析 易知y＝f(x)的最小正周期T＝4，1f(2017)＝f(1)＝－f（3）＝－3.1 6.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.[回扣问题6]函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________.解析由f′(x)＝3x2－3>0，得x>1或－x<1.答案 (－∞，－1)和(1，＋∞)7.图象变换的几个注意点.(1)混淆平移变换的方向与单位长度 .(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|).(3)两个函数图象的对称.①函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称 .②函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.[回扣问题7](2016·全国Ⅲ卷)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝2sinx的图象至少向右平移________个单位长度得到.π解析 y＝sinx－ 3cosx＝2sinx－3.π∴y＝2sin x的图象向右平移3个单位，π得y＝2sinx－3的图象.π答案38.不能准确理解基本初等函数的定义和性质 .如函数 y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视 ax>0；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件.[回扣问题8] 函数y＝loga|x|的增区间为________________________________.答案 当a>1时，函数的增区间为(0，＋∞)；当0<a<1时，函数的增区间为(－∞，0)9.分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值 .[回扣问题9]已知函数f(x)＝ex－k，x≤0，是R上的增函数，则实数k的（1－k）x＋k，x>0取值范围是________.解析 由题意知k<1，即1k≥2，

1－k>0，e0－k≤（1－k）×0＋k，1所以2≤k<1.1答案 2，110.易混淆函数的零点和函数图象与 x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化 .[回扣问题

10]

函数

f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点个数为

(

)A.1

B.2C.3

D.4解析

由|x－2|－lnx＝0，得lnx＝|x－2|.在同一坐标系内作

y＝lnx与

y＝|x－2|的图象(图略)，有两个交点.∴f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内有两个零点.答案 B11.混淆y＝f(x)在某点x0处的切线与y＝f(x)过某点x0的切线，导致求解失误.[回扣问题11](2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.1 为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y轴上的截距为1.答案 112.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.注意 如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式 f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.[回扣问题12] 若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________.解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的导函数f′(x)＝3ax2－2x＋1.a>0，1由f′(x)≥0在R上恒成立，得解得a≥3.＝4－12a≤0，当＝1时，′(＝－2≥0，当且仅当x＝1时取等号，∴a≥1a3fx)(x1)3.1答案3，＋∞00处有极值的充分13.对于可导函数y＝f(x)，错以为f′(x)＝0是函数y＝f(x)在x＝x条件.[回扣问题13]若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝________.f（1）＝a2＋a＋b＋1＝10，解析 由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′（1）＝2a＋b＋3＝0，a＝4， a＝－3，解得 或 经验证，当a＝4，b＝－11时，满足b＝－11 b＝3，题意；当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0恒成立，不满足题意，舍去 .答案 －7溯源回扣三 三角函数与平面向量1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定.[回扣问题1]已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值为________.解析43由三角函数定义，sinα＝－，cosα＝，551∴sinα＋cosα＝－5.1 2.求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意 ω，A的符号.若ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间 .π[回扣问题2] 函数y＝sin－2x＋3的递减区间是________.π解析 y＝－sin2x－3，ππππ5令2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈Z，得kπ－12≤x≤kπ＋12π，k∈Z.π5答案kπ－12，kπ＋12π(k∈Z)3.在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解 .153ππ[回扣问题3]已知cosα＝7，sin(α＋β)＝14，0<α<2，0<β<2，则cosβ＝________.π1π1解析∵0<α<2且cosα＝7<cos3＝2，π π∴3<α<2，π π又0<β<2，∴3<α＋β<π，5 3 3 2π又sin(α＋β)＝14<2，∴3<α＋β<π.2 11∴cos(α＋β)＝－ 1－sin（α＋β）＝－14，43sinα＝1－cosα＝7.cosβ＝cos[(α＋β)－α]1＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝2.答案

124.已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解 .在△ABC中，A>B?sinA>sinB.[回扣问题4] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c且a＝1，c＝ 3.π若C＝3，则角A＝________.acasinC1解析由正弦定理得sinA＝sinC，即sinA＝c＝2.π π又a<c，所以A<C，所以0<A<3，所以A＝6.π答案65.设两个非零向量a，b，其夹角为θ，当θ为锐角时，a·b>0，且a，b不同向；故a·b>0是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且a，b不反向，故a·b<0是θ为钝角的必要不充分条件.[回扣问题5]已知向量a＝(2，1)，b＝(λ，1)，λ∈R，设a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是____________.解析 因为θ为锐角，所以0<cosθ<1.a·b又因为cosθ＝|a||b|＝2λ＋1，25·λ＋1所以0<2λ＋1且2λ＋1≠1，225·λ＋15·λ＋12λ＋1>0，1所以解得λ>－2，2λ＋1≠2λ≠2，5·λ＋1，所以λ的取值范围是λλ>－1且λ≠2.2答案λλ>－1且λ≠226.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.回扣问题→→→→→[6]若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB||OB|，则△ABC的形状为________.解析→→＝→＋→－→OC||OBOC2OA|→ → → → → → →|CB|＝|AB＋AC|，即|AB－AC|＝|AB＋AC|.故以AB，AC为邻边的平行四边形为矩形 .因此△ABC是以A为直角顶点的直角三角形 .答案 直角三角形溯源回扣四 数列与不等式1.已知数列的前n项和Sn求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示.事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.[回扣问题1] 已知数列{an}对任意的n∈N*都满足a1＋2a2＋22a3＋⋯＋2n－1an＝8－5n，则数列{an}的通项公式为________.解析当n≥2时，由于a1＋2a2＋22a3＋⋯＋2n－1an＝8－5n，那么a1＋2a2＋22a3＋⋯＋2n－2an－1＝8－5(n－1)，两式对应相减可得 2n－1an＝8－5n－[8－5(n－1)]＝－5，所以an＝－n51.2－5而当n＝1时，a1＝3≠－21－1＝－5，所以数列{an}的通3，n＝1，项公式为an＝ －2n5－1，n≥2.3，n＝1，答案an＝5－2n－1，n≥22.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知Sn＝n＋1，求an时，Tn 2n＋3 bn无法正确赋值求解.[回扣问题2]等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为n3n－18Sn，Tn，且S＝，则aTn2n＋3b8＝________.a2aa1＋a15S3×15－14＝3.解析由等差数列的性质，b8＝2b8＝＝T15＝2×15＋3b1＋b15答案

433.运用等比数列的前 n项和公式时，易忘记分类讨论 .一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.[回扣问题 3] 设等比数列{an}的前n项和为 Sn，若S3＋S6＝S9，则公比 q＝________.解析 (1)当q＝1时，显然S3＋S6＝S9成立.(2)当q≠1时，由S3＋S6＝S9，a1（1－q3） a1（1－q6） a1（1－q9）得 ＋ ＝ .1－q 1－q 1－q3 6由于1－q≠0，得q＝1，∴q＝－1.4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视 an－an－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N*的限bn＋1*制，类似地，在等比数列中，bn＝q(常数且q≠0)，忽视n∈N的条件限制.[回扣问题4](2015·安徽卷改编已知数列{an}中，a1＝a＝1，a＋＝a＋1≥，)2n1n2(n2)则数列{an}的前9项和等于________.解析由a2＝，n＋1＝n＋1≥，∴数列n从第2项起是公差为1的等差数1aa2(n2){a}2列，∴S9＝a1＋a2＋a3＋⋯＋a98（8－1）1＝1＋8a2＋2×2＝23.答案 235.解形如一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.[回扣问题5] 若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.解析原不等式化为(m2－1)x2－＋＋1>0对x∈R恒成立.(m1)x(1)当m2－1＝0且m＋1＝0，不等式恒成立，∴m＝－1.m2－1>0，2(2)当m－1≠0时，则m>1或m<－1，

＝（m＋1）2－4（m2－1）<0.5即 5 所以m>3或m<－1.m>3或m<－1.5综合(1)(2)知，m的取值范围为(－∞，－1]∪3，＋∞.5答案 (－∞，－1]∪3，＋∞6.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋1的最值，就不能利用基本不等式求解最值.x2＋2[回扣问题6]已知，b>0，＋＝，则＝1＋4的最小值是________.a>0ab1yab14b4a解析∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴y＝a＋b·(a＋b)＝5＋a＋b≥9，当且仅当b＝2a时等号成立.答案 97.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如 y－2是x＋2指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.x－2y＋4≥0，[回扣问题7] (2016·江苏卷)已知实数x，y满足 2x＋y－2≥0，则x2＋y2的取值3x－y－3≤0，范围是________.解析 作满足条件的可行域如图中阴影部分所示 .d＝ x2＋y2可以看作坐标原点 O与可行域内的点(x，y)之间的距离.数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离.x－2y＋4＝0，由 得A(2，3)，3x－y－3＝0，∴dmax＝|OA|＝|0＋0－2|2.22＋32＝13，dmin＝＝2252＋124则d的最小值为5，最大值为13，∴x2＋y2的取值范围是4，13.54答案 5，138.对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论 n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或an＋1＝q(n≥2)，求{an的通项公式，要注意分n的奇偶n－1}a性讨论.[回扣问题8](2015·山东卷改编若n＝2n－1，且bn＝(－1)n－14n，则数列{bn})aanan＋1的前n项和Tn＝________.解析bn＝－n－14n－n－1111)＝1)2n－1＋(anan＋1(2n＋1.当n为偶数时，Tn＝1＋111111＋1－3－3＋5＋5＋7－⋯＋－2n－12n31，2n－12n＋12n∴Tn＝1－＝.2n＋12n＋1当n为奇数时，Tn＝1＋111111＋1＋3－3＋5＋5＋7－⋯－－－12n32n112n－1＋，2n＋11＝2n＋2∴Tn＝1＋，2n＋12n＋12n（n为偶数），2n＋1故Tn＝2n＋2（n为奇数）.2n＋1答案 Tn＝

2n （n为偶数），2n＋12n＋22n＋1（n为奇数）9.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响 .2 1[回扣问题9] 已知关于x的不等式ax＋bx＋c<0的解集是xx<－2，或x>－2，则ax2－bx＋c>0的解集为________.解析∵ax2＋bx＋c<0的解集为xx<－2或x>－1，2∴a<0，且c＝，－b＝－5，a1a25225∴b＝2a，c＝a，故ax－bx＋c>0化为ax－2ax＋a>0，251由于a<0，得x－2x＋1<0，解之得2<x<2.答案1，22溯源回扣五 立体几何1.由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.[回扣问题1] 在如图所示的空间直角坐标系 O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )A.①和②

B.③和①C.④和③ D.④和②解析 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②，D正确.答案 D2.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式1中的系数3.[回扣问题2] (2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的体积 V＝________.解析该几何体为半个圆锥，由三视图知，圆锥的高h＝32－12＝2，21122因此V＝2×3×22×π·1＝3π.2答案 3π3.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，这是因为忽视面面垂直的性质定理中m?α的限制条件.[回扣问题3] 已知m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面.给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β.②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n.③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线.④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α，且n∥β.⑤若m，n为异面直线，则存在平面 α过m且使n⊥α.其中正确的命题序号是________.解析 ①错误.如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同时AC也不垂直面ADD′A′；②正确.实质上是两平面平行的性质定理 .③错误.在上面的正方体中，A′C不垂直于平面 A′B′C′D′，但与B′D′垂直.这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线.④正确.利用线面平行的判定定理即可 .⑤正确.如正方体中AA′?平面AA′D′D，而CD⊥平面AA′D′D，且AA′与CD异面.答案 ②④⑤4.忽视三视图的实、虚线，导致几何体的形状结构理解错误 .[回扣问题4] 如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为

1的正方形，则此多面体的体积为

____________.解析由三视图可知，几何体为正方体截去两个三棱锥后的部分，因为V正方体＝1311121，V三棱锥＝3×1×2＝6，因此，该多面体的体积V＝1－6×2＝3.2答案35.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系 .对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.[回扣问题5] (2017·广州模拟)如图①，在平面四边形 ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图②)，设点E，F分别为棱AC，AD的中点.(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)设CD＝a，求三棱锥A－BFE的体积.(1)证明 在题图①中，AB＝BD，且∠A＝45°，∴∠ADB＝45°，∠ABD＝90°，则AB⊥BD.在题图②中，∵平面 ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥底面BDC，且CD?平面BDC，∴AB⊥CD.又∠DCB＝90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC＝B，∴DC⊥平面ABC.(2)解∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF∥CD，又由(1)知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，1∴VA－BFE＝VF－AEB＝3S△AEB·FE.在题图①中，∵∠ADC＝105°，∴∠BDC＝60°，∠DBC＝30°，1由CD＝a得，BD＝2a，BC＝3a，EF＝2CD＝2a，∴SABC＝1·1＝3a2＝··，△222a3a∴S△AEB＝322a.132133∴VA－BFE＝··＝12a.32a2a溯源回扣六平面解析几何1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错 .[回扣问题1]直线xcosθ＋3y－2＝0的倾斜角的范围是________.cosθ33解析tanα＝k＝－3，知－3≤k≤3，π5π∴0≤θ≤6或6≤θ<π.π5π答案0，6∪6，π2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为 0的情况.[回扣问题2] 已知直线过点 P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.解析 当截距为0，则直线方程为 y＝5x，当截距不是 0时，设直线方程为 x＋y＝a，将P(1，5)坐标代入方程，得 a＝6.∴所求方程为5x－y＝0或x＋y－6＝0.答案5x－y＝0或x＋y－6＝03.求两条平行线之间的距离时，易忽视两直线x，y的系数相等的条件，而直接代入公式d＝|C1－C2|22，导致错误.A＋B[回扣问题3]直线3x＋4y＋5＝0与6x＋8y－7＝0的距离为________.解析将3x＋4y＋5＝0化为6x＋8y＋10＝0，∴两平行线间的距离d＝|10－（－7）|1722＝10.6＋817答案104.两圆的位置关系可根据圆心距与半径的关系判定，在两圆相切的关系中，误认为相切为两圆外切，忽视相内切的情形；求圆的切线方程时，易忽视斜率不存在的情形.[回扣问题

4]

(1)若点

P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点

P处的切线方程为________.x2 y2(2)双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆的位置关系为________.解析(1)以原点O为圆心的圆过点P(1，2)，∴圆的方程为x2＋y2＝5.1∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－2.1∴切线方程为y－2＝－2(x－1)，即x＋2y－5＝0.1(2)设线段PF1的中点为P0，双曲线的右焦点为 F2，则|OP0|＝2|PF2|，由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a，1∴|OP0|＝2|PF1|－a＝R－r，因此两圆内切.答案 (1)x＋2y－5＝0 (2)内切5.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中 a，b，c三者之间的关系，导致计算错误.x2y25[回扣问题5](2015·广东卷)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝4，且其右焦点为F2，，则双曲线C的方程为()(50)x2y2x2y2A.4－3＝1B.9－16＝1x2y2x2y2C.16－9＝1D.3－4＝1解析∵e＝c＝5，2，0)，a4F(5c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，x2 y2∴双曲线C的标准方程为16－9＝1.答案 C6.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件 .如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二， 2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数， 而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支 .[问题回扣6]已知平面内两定点A(0，1)，B(0，－1)，动点M到两定点A，B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________.解析 因为|MA|＋|MB|＝4>|AB|，所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2 2 2因此a＝2，c＝1，则b＝ a－c＝3，y2x2所以点M的轨迹方程为4＋3＝1.y2x2答案4＋3＝17.由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解 .[回扣问题7]已知椭圆x2＋y2＝1的离心率等于3，则m＝________.4m2解析当焦点在x轴上，则a＝2，c＝4－m，∴4－m3，则m＝1.2＝2当焦点在y轴上，则a＝m，c＝m－4，m－4 3m＝2，则m＝16.答案 1或168.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“ >0”下进行.[回扣问题

8]

(2017·西安调研)已知椭圆

x2 y2W：a2＋b2＝1(a>b>0)的焦距为

2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为－

1，O为坐标原点

.(1)求椭圆

W的方程；(2)设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为 Sk，证明：S1＝S2.(1)解 由题意，得W的半焦距c＝1，右焦点F(1，0)，上顶点M(0，b).b－0∴直线MF的斜率kMF＝0－1＝－1，解得b＝1.由a2＝b2＋c2，得a2＝2.2∴椭圆W的方程为x2＋y2＝1.设直线的方程为，y1，2，y2，由方程组y＝kx＋m，(2)证明ly＝kx＋m，设A(x1x2)B(x)22＋y＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，∴Δ＝16k2－8m2＋8>0.①－4km2m2－2由根与系数的关系，得x1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2.2－4km22m2－2∴|AB|＝1＋k1＋2k2－4×＋212k＝1＋k2221＋2k28（2k－m＋1），∵原点O到直线y＝kx＋m的距离d＝|m|2，1＋k∴S△AOB＝1＋2222时，S△AOB＝2|AB|d＝2m（2k－m＋1），当k＝112km2（3－m2），3∴当m2＝322时，S△AOB有最大值S1＝2，验证满足①式，当k＝2时，△AOB＝22（9－m2），S9m292，验证①式成立.因此S1＝S2.∴当m＝时，SAOB的最大值S2＝2△2溯源回扣七 概率与统计1.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错

.[回扣问题1]从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生检验表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报 A专业的人数为________.解析 该班学生视力在 0.9以上的频率为(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.40，所以能报A专业的人数为50×0.40＝20.答案 202＝n（ad－bc）22.在独立性检验中，K（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d)所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度.[回扣问题2]为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：分类喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生101525合计302050则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关 (请用百分数表示).附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828由列联表，k＝50（20×15－10×5）2解析≈8.333.25×25×30×20又P(K2≥7.879)＝0.005，且8.333>7.879，∴至少有99.5%的把握认为喜爱篮球与性别有关 .答案 99.5%3.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件 .[回扣问题3] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝1，P(B)＝1，求出现奇数点或2点的概率之和为________.262解析由互斥事件概率加法公式，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝3.答案23混淆直线方程＝＋与回归直