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文档简介
2023年中考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.已知二次函数y=3(x﹣1)2+k的图象上有三点A(,y1),B(2,y2),C(﹣,y3),则y1、y2、y3的大小关系为()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y12.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为()A.60海里 B.45海里 C.20海里 D.30海里3.将一副三角板(∠A=30°)按如图所示方式摆放,使得AB∥EF,则∠1等于()A.75° B.90° C.105° D.115°4.黄河是中华民族的象征,被誉为母亲河,黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处,是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30米,年平均流量1010立方米/秒.若以小时作时间单位,则其年平均流量可用科学记数法表示为()A.6.06×104立方米/时 B.3.136×106立方米/时C.3.636×106立方米/时 D.36.36×105立方米/时5.等腰三角形的一个外角是100°,则它的顶角的度数为()A.80° B.80°或50° C.20° D.80°或20°6.如图,在△ABC中,点D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,下列四个判断中不正确的是()A.四边形AEDF是平行四边形B.若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形C.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是矩形D.若AD⊥BC且AB=AC,则四边形AEDF是菱形7.若二次函数y=-x2+bx+c与x轴有两个交点(m,0),(m-6,0),该函数图像向下平移n个单位长度时与x轴有且只有一个交点,则n的值是()A.3 B.6 C.9 D.368.李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况,随机调查了20名学生某一天的阅读小时数,具体情况统计如下:阅读时间(小时)22.533.54学生人数(名)12863则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是()A.众数是8 B.中位数是3C.平均数是3 D.方差是0.349.函数y=中自变量x的取值范围是()A.x≥-1且x≠1 B.x≥-1 C.x≠1 D.-1≤x<110.如图,点O为平面直角坐标系的原点,点A在x轴上,△OAB是边长为4的等边三角形,以O为旋转中心,将△OAB按顺时针方向旋转60°,得到△OA′B′,那么点A′的坐标为()A.(2,2) B.(﹣2,4) C.(﹣2,2) D.(﹣2,2)二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,若∠A=30°,PC=3,则BP的长为.12.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知折痕AE=5cm,且tan∠EFC=,那么矩形ABCD的周长_____________cm.13.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根,则m的取值范围是.14.月球的半径约为1738000米,1738000这个数用科学记数法表示为___________.15.定义:在平面直角坐标系xOy中,把从点P出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P,Q的“实际距离”.如图,若P(﹣1,1),Q(2,3),则P,Q的“实际距离”为1,即PS+SQ=1或PT+TQ=1.环保低碳的共享单车,正式成为市民出行喜欢的交通工具.设A,B,C三个小区的坐标分别为A(3,1),B(1,﹣3),C(﹣1,﹣1),若点M表示单车停放点,且满足M到A,B,C的“实际距离”相等,则点M的坐标为_____.16.用配方法将方程x2+10x﹣11=0化成(x+m)2=n的形式(m、n为常数),则m+n=_____.17.对于实数a,b,定义运算“※”如下:a※b=a2﹣ab,例如,5※3=52﹣5×3=1.若(x+1)※(x﹣2)=6,则x的值为_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图1,四边形ABCD,边AD、BC的垂直平分线相交于点O.连接OA、OB、OC、OD.OE是边CD的中线,且∠AOB+∠COD=180°(1)如图2,当△ABO是等边三角形时,求证:OE=AB;(2)如图3,当△ABO是直角三角形时,且∠AOB=90°,求证:OE=AB;(3)如图4,当△ABO是任意三角形时,设∠OAD=α,∠OBC=β,①试探究α、β之间存在的数量关系?②结论“OE=AB”还成立吗?若成立,请你证明;若不成立,请说明理由.19.(5分)在学校组织的朗诵比赛中,甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛,抽签规则是:在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C,各代表1篇文章,一名学生随机抽取一个标签后放回,另一名学生再随机抽取.用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果,并求甲、乙抽中同一篇文章的概率.20.(8分)如图,某游乐园有一个滑梯高度AB,高度AC为3米,倾斜角度为58°.为了改善滑梯AB的安全性能,把倾斜角由58°减至30°,调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米?(精确到0.1米)(参考数据:sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)21.(10分)随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注,某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两个统计图.(1)本次调查的学生共有人,估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人;(2)“非常了解”的4人有A1,A2两名男生,B1,B2两名女生,若从中随机抽取两人向全校做环保交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.22.(10分)如图,已知在梯形ABCD中,,P是线段BC上一点,以P为圆心,PA为半径的与射线AD的另一个交点为Q,射线PQ与射线CD相交于点E,设.(1)求证:;(2)如果点Q在线段AD上(与点A、D不重合),设的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3)如果与相似,求BP的长.23.(12分)抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.求此抛物线的解析式;已知点D在第四象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点D’的坐标;在(2)的条件下,连结BD,问在x轴上是否存在点P,使,若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.24.(14分)如图1,在等边三角形中,为中线,点在线段上运动,将线段绕点顺时针旋转,使得点的对应点落在射线上,连接,设(且).(1)当时,①在图1中依题意画出图形,并求(用含的式子表示);②探究线段,,之间的数量关系,并加以证明;(2)当时,直接写出线段,,之间的数量关系.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】试题分析:根据二次函数的解析式y=3(x-1)2+k,可知函数的开口向上,对称轴为x=1,根据函数图像的对称性,可得这三点的函数值的大小为y3>y2>y1.故选D点睛:此题主要考查了二次函数的图像与性质,解题时先根据顶点式求出开口方向,和对称轴,然后根据函数的增减性比较即可,这是中考常考题,难度有点偏大,注意结合图形判断验证.2、D【解析】
根据题意得出:∠B=30°,AP=30海里,∠APB=90°,再利用勾股定理得出BP的长,求出答案.【详解】解:由题意可得:∠B=30°,AP=30海里,∠APB=90°,故AB=2AP=60(海里),
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为:BP=(海里)故选:D.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角,正确应用勾股定理是解题关键.3、C【解析】分析:依据AB∥EF,即可得∠BDE=∠E=45°,再根据∠A=30°,可得∠B=60°,利用三角形外角性质,即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°.详解:∵AB∥EF,∴∠BDE=∠E=45°,又∵∠A=30°,∴∠B=60°,∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°,故选C.点睛:本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:两直线平行,内错角相等.4、C【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】1010×360×24=3.636×106立方米/时,故选C.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.5、D【解析】
根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角,再根据等腰三角形的性质分情况解答.【详解】∵等腰三角形的一个外角是100°,∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°,当80°为底角时,顶角为180°-160°=20°,∴该等腰三角形的顶角是80°或20°.故答案选:D.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.6、C【解析】A选项,∵在△ABC中,点D在BC上,DE∥AC,DF∥AB,∴DE∥AF,DF∥AE,∴四边形AEDF是平行四边形;即A正确;B选项,∵四边形AEDF是平行四边形,∠BAC=90°,∴四边形AEDF是矩形;即B正确;C选项,因为添加条件“AD平分∠BAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形,而不能证明四边形AEDF是矩形;所以C错误;D选项,因为由添加的条件“AB=AC,AD⊥BC”可证明AD平分∠BAC,从而可通过证∠EAD=∠CAD=∠EDA证得AE=DE,结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形,所以D正确.故选C.7、C【解析】
设交点式为y=-(x-m)(x-m+6),在把它配成顶点式得到y=-[x-(m-3)]2+1,则抛物线的顶点坐标为(m-3,1),然后利用抛物线的平移可确定n的值.【详解】设抛物线解析式为y=-(x-m)(x-m+6),∵y=-[x2-2(m-3)x+(m-3)2-1]=-[x-(m-3)]2+1,∴抛物线的顶点坐标为(m-3,1),∴该函数图象向下平移1个单位长度时顶点落在x轴上,即抛物线与x轴有且只有一个交点,即n=1.故选C.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点:把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.8、B【解析】
A、根据众数的定义找出出现次数最多的数;B、根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列,求出最中间的2个数的平均数,即可得出中位数;C、根据加权平均数公式代入计算可得;D、根据方差公式计算即可.【详解】解:A、由统计表得:众数为3,不是8,所以此选项不正确;B、随机调查了20名学生,所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小时数,都是3,故中位数是3,所以此选项正确;C、平均数=,所以此选项不正确;D、S2=×[(2﹣3.35)2+2(2.5﹣3.35)2+8(3﹣3.35)2+6(3.5﹣3.35)2+3(4﹣3.35)2]==0.2825,所以此选项不正确;故选B.【点睛】本题考查方差;加权平均数;中位数;众数.9、A【解析】分析:根据分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于0;当一个式子中同时出现这两点时,应该是取让两个条件都满足的公共部分.详解:根据题意得到:,解得x≥-1且x≠1,故选A.点睛:本题考查了函数自变量的取值范围问题,判断一个式子是否有意义,应考虑分母上若有字母,字母的取值不能使分母为零,二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数.易错易混点:学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆.10、D【解析】分析:作BC⊥x轴于C,如图,根据等边三角形的性质得则易得A点坐标和O点坐标,再利用勾股定理计算出然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标;由旋转的性质得则点A′与点B重合,于是可得点A′的坐标.详解:作BC⊥x轴于C,如图,∵△OAB是边长为4的等边三角形∴∴A点坐标为(−4,0),O点坐标为(0,0),在Rt△BOC中,∴B点坐标为∵△OAB按顺时针方向旋转,得到△OA′B′,∴∴点A′与点B重合,即点A′的坐标为故选D.点睛:考查图形的旋转,等边三角形的性质.求解时,注意等边三角形三线合一的性质.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、3.【解析】试题分析:连接OC,已知OA=OC,∠A=30°,所以∠OCA=∠A=30°,由三角形外角的性质可得∠COB=∠A+∠ACO=60°,又因PC是⊙O切线,可得∠PCO=90°,∠P=30°,再由PC=3,根据锐角三角函数可得OC=PC•tan30°=3,PC=2OC=23,即可得PB=PO﹣OB=3.考点:切线的性质;锐角三角函数.12、36.【解析】试题分析:∵△AFE和△ADE关于AE对称,∴∠AFE=∠D=90°,AF=AD,EF=DE.∵tan∠EFC==,∴可设EC=3x,CF=4x,那么EF=5x,∴DE=EF=5x.∴DC=DE+CE=3x+5x=8x.∴AB=DC=8x.∵∠EFC+∠AFB=90°,∠BAF+∠AFB=90°,∴∠EFC=∠BAF.∴tan∠BAF=tan∠EFC=,∴=.∴AB=8x,∴BF=6x.∴BC=BF+CF=10x.∴AD=10x.在Rt△ADE中,由勾股定理,得AD2+DE2=AE2.∴(10x)2+(5x)2=(5)2.解得x=1.∴AB=8x=8,AD=10x=10.∴矩形ABCD的周长=8×2+10×2=36.考点:折叠的性质;矩形的性质;锐角三角函数;勾股定理.13、m≤1.【解析】试题分析:由题意知,△=4﹣4m≥0,∴m≤1.故答案为m≤1.考点:根的判别式.14、1.738×1【解析】
解:将1738000用科学记数法表示为1.738×1.故答案为1.738×1.【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数,掌握科学计数法的计数形式,难度不大.15、(1,﹣2).【解析】
若设M(x,y),则由题目中对“实际距离”的定义可得方程组:3-x+1-y=y+1+x+1=1-x+3+y,解得:x=1,y=-2,则M(1,-2).故答案为(1,-2).16、1【解析】
方程常数项移到右边,两边加上25配方得到结果,求出m与n的值即可.【详解】解:∵x2+10x-11=0,∴x2+10x=11,则x2+10x+25=11+25,即(x+5)2=36,∴m=5、n=36,∴m+n=1,故答案为1.【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.17、2【解析】
根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程,解方程即可得解.【详解】由题意得,(x+2)2﹣(x+2)(x﹣2)=6,整理得,3x+3=6,解得,x=2,故答案为2.【点睛】本题考查了解方程,涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等,根据题意正确得到方程是解题的关键.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)详见解析;(2)详见解析;(3)①α+β=90°;②成立,理由详见解析.【解析】
(1)作OH⊥AB于H,根据线段垂直平分线的性质得到OD=OA,OB=OC,证明△OCE≌△OBH,根据全等三角形的性质证明;(2)证明△OCD≌△OBA,得到AB=CD,根据直角三角形的性质得到OE=CD,证明即可;(3)①根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算;②延长OE至F,是EF=OE,连接FD、FC,根据平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质证明.【详解】(1)作OH⊥AB于H,∵AD、BC的垂直平分线相交于点O,∴OD=OA,OB=OC,∵△ABO是等边三角形,∴OD=OC,∠AOB=60°,∵∠AOB+∠COD=180°∴∠COD=120°,∵OE是边CD的中线,∴OE⊥CD,∴∠OCE=30°,∵OA=OB,OH⊥AB,∴∠BOH=30°,BH=AB,在△OCE和△BOH中,,∴△OCE≌△OBH,∴OE=BH,∴OE=AB;(2)∵∠AOB=90°,∠AOB+∠COD=180°,∴∠COD=90°,在△OCD和△OBA中,,∴△OCD≌△OBA,∴AB=CD,∵∠COD=90°,OE是边CD的中线,∴OE=CD,∴OE=AB;(3)①∵∠OAD=α,OA=OD,∴∠AOD=180°﹣2α,同理,∠BOC=180°﹣2β,∵∠AOB+∠COD=180°,∴∠AOD+∠COB=180°,∴180°﹣2α+180°﹣2β=180°,整理得,α+β=90°;②延长OE至F,使EF=OE,连接FD、FC,则四边形FDOC是平行四边形,∴∠OCF+∠COD=180°,,∴∠AOB=∠FCO,在△FCO和△AOB中,,∴△FCO≌△AOB,∴FO=AB,∴OE=FO=AB.【点睛】本题是四边形的综合题,考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识;熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.19、.【解析】试题分析:首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙抽中同一篇文章,再利用概率公式求解即可求得答案.试题解析:解:如图:所有可能的结果有9种,甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种,概率为=.点睛:本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.20、调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米【解析】试题分析:Rt△ABD中,根据30°的角所对的直角边是斜边的一半得到AD的长,然后在Rt△ABC中,求得AB的长后用即可求得增加的长度.试题解析:Rt△ABD中,∵AC=3米,∴AD=2AC=6(m)∵在Rt△ABC中,∴AD−AB=6−3.53≈2.5(m).∴调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加2.5米.21、(1)50,360;(2).【解析】试题分析:(1)根据图示,可由非常了解的人数和所占的百分比直接求解总人数,然后根据求出不了解的百分比估计即可;(2)根据题意画出树状图,然后求出总可能和“一男一女”的可能,再根据概率的意义求解即可.试题解析:(1)由饼图可知“非常了解”为8%,由柱形图可知(条形图中可知)“非常了解”为4人,故本次调查的学生有(人)由饼图可知:“不了解”的概率为,故1200名学生中“不了解”的人数为(人)(2)树状图:由树状图可知共有12种结果,抽到1男1女分别为共8种.∴考点:1、扇形统计图,2、条形统计图,3、概率22、(1)见解析;(2);(3)当或8时,与相似.【解析】
(1)想办法证明即可解决问题;(2)作A于M,于N.则四边形AMPN是矩形.想办法求出AQ、PN的长即可解决问题;(3)因为,所以,又,推出,推出相似时,与相似,分两种情形讨论即可解决问题;【详解】(1)证明:四边形ABCD是等腰梯形,,,,,,,.(2)解:作于M,于N.则四边形是矩形.在中,,,,,,.(3)解:,,,相似时,与相似,,当时,,此时,当时,,此时,综上所述,当PB=5或8时,与△相似.【点睛】本题考查几何综合题、圆的有关性质、等腰梯形的性质,锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形和特殊四边形解决问题,属于中考压轴题.23、(1)(2)(0,-1)(3)(1,0)(9,0)【解析】
(1)将A(−1,0)、C(0,−3)两点坐标代入抛物线y=ax2+bx−3a中,列方程组求a、b的值即可;(2)将点D(m,−m−1)代入(1)中的抛物线解析式,求m的值,再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标;(3)分两种情形①过点C作CP∥BD,交x轴于P,则∠PCB=∠CBD,②连接BD′,过点C作CP′∥BD′,交x轴于P′,分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题.【详解】解:(1)将A(−1,0)、C(0,−3)代入抛物线y=ax2+bx−3a中,得,解得∴y=x2−2
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