2021-2022学年四川省成都市经开区实验中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为()A．7 B．15 C．31 D．632．已知等差数列中，则（）A．10 B．16 C．20 D．243．已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（）A． B．函数在上递增C．函数的一条对称轴是 D．函数的一个对称中心是4．如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．5．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于（）A．2 B．1 C． D．06．设集合，，若，则（）A． B． C． D．7．已知复数满足，则（）A． B．2 C．4 D．38．已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．9．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12种 B．24种 C．36种 D．48种10．向量，，且，则（）A． B． C． D．11．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．12 B． C． D．1012．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足对任意，，则数列的通项公式__________.14．的展开式中的常数项为__________.15．已知正实数满足，则的最小值为．16．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的面积.19．（12分）某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）频数51055频率0.10.20.10.1赞成人数4812521（1）若所抽调的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成频率分布直方图．（2）若从收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”，求的分布列与数学期望．（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中点，AC，BD交于点O.（1）求证：OE∥平面PBC；（2）求三棱锥E﹣PBD的体积.21．（12分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面积；（2）若D，E是BC边上的三等分点，求.22．（10分）正项数列的前n项和Sn满足：(1)求数列的通项公式；(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.考点：程序框图.2．C【解析】

根据等差数列性质得到，再计算得到答案.【详解】已知等差数列中，故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.3．D【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.【详解】，又，即，有且仅有满足条件；又，则，，函数，对于A，，故A错误；对于B，由，解得，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，由，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.4．A【解析】

设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为，则，联立，消去得①，由，解得，方程①为，解得，则点，所以，阴影部分区域的面积为，矩形的面积为，因此，所求概率为.故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.5．B【解析】

先求出，再利用投影公式求解即可.【详解】解：由已知得，由在方向上的投影为，得，则.故答案为：B.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.6．A【解析】

根据交集的结果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.7．A【解析】

由复数除法求出，再由模的定义计算出模．【详解】．故选：A．【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．8．D【解析】

根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A，当，，时，则平面与平面可能相交，，，故不能作为的充分条件，故A错误；对于B，当，，时，则，故不能作为的充分条件，故B错误；对于C，当，，时，则平面与平面相交，，，故不能作为的充分条件，故C错误；对于D，当，，，则一定能得到，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.9．C【解析】

先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有种方法，由分步计数原理，共有种方案。故选：C.【点睛】本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.10．D【解析】

根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【详解】故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.11．C【解析】

取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，的外接圆直径为，球O的半径R满足，所以球O的表面积S=4πR2=，故选：C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.12．D【解析】

结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

利用累加法求得数列的通项公式，由此求得的通项公式.【详解】由题，所以故答案为：【点睛】本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.14．31【解析】

由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为的展开式得通项为，则的展开式中的常数项为：，得解.【详解】解：，则的展开式中的常数项为：.故答案为：31.【点睛】本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.15．4【解析】

由题意结合代数式的特点和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】.当且仅当时等号成立.据此可知：的最小值为4.【点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．16．1【解析】

由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝1，得解．【详解】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5，综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）要证明平面，只需证明，即可：（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.【详解】（1）∵底面为菱形，∵直棱柱平面.∵平面..平面；（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：，点，设平面的法向量为，，有，令，得又，设直线与平面所成的角为，所以故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.18．（1），；（2）.【解析】

（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，结合可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）计算出直线截圆所得弦长，并计算出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）由得，故直线的普通方程是.由，得，代入公式得，得，故曲线的直角坐标方程是；（2）因为曲线的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，则弦长.又到直线的距离为，所以.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19．（1），频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，；（3）来自的可能性最大．【解析】

（1）由频率和为可知，根据求得，从而计算得到频数，补全频率分布表后可画出频率分布直方图；（2）首先确定的所有可能取值，由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（3）根据中不赞成比例最大可知来自的可能性最大.【详解】（1）由频率分布表得：，即．收入在的有名，，，，则频率分布直方图如下：（2）收入在中赞成人数为，不赞成人数为，可能取值为，则；；，的分布列为：．（3）来自的可能性更大．【点睛】本题考查概率与统计部分知识的综合应用，涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识；考查学生的运算和求解能力.20．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）连接OE，利用三角形中位线定理得到OE∥PC，即可证出OE∥平面PBC；（2）由E是PA的中点，，求出S△ABD，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示：∵点O，E分别是AC，PA的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PC，又∵OE平面PBC，PC平面PBC，∴OE∥平面PBC；（2）解：∵PA＝AB＝4，∴AE＝2，∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴S△ABD，∴三棱锥E﹣PBD的体积.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积，注意等体积法的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.21．（1）；（2）【解析】

（1）根据正弦定理，可得△ABC为直角三角形，然后可计算b，可得结果.（2）计算，然后根据余弦定理，可得