高冠一对三极值点偏移3.17

一对三授课教案校区： 西门口

学员姓名：

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所授科目：上课时间： 2018 年

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分钟【教学目标】极值点偏移【教学重难点】授课内容：第一：极值点偏移初探一、极值点偏移的含义众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)f(2mx)，则函数f(x)关于直线xm对称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则xm必为f(x)的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0，若f(x)c的两根的中点为x1x2，则刚好有x1x2x0，22即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移 .若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m，且函数f(x)满足定义域内xm左侧的任意自变量x都有f(x)f(2mx)或f(x)f(2mx)，则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数f(x)定义域内任意不同的实数x1,x2满足f(x1)f(x2)，则x1x2与极值点m必有确定的大小关系：2若mx12x2，则称为极值点左偏；若mx1x2，则称为极值点右偏2如函数g(x)x1刚好在方程g(x)x1x2的左边，我们称之为极值点左偏.ex的极值点x0c的两根中点2二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，求证：x1x22x0（x0为函数f(x)的极值点）；2.若函数f(x)中存在x1,x2且x1x2满足f(x1)f(x2)，求证：x1x22x0（x0为函数f(x)的极值点）；3.若函数f(x)存在两个零点x1,x2且x1x2，令x0x1x2，求证：f'(x0)0；2x1x24.若函数f(x)中存在x1,x2且x1x2满足f(x1)f(x2)，令x0，求证：f'(x0)0.2三、问题初现，形神合聚★函数f(x)x22x1aex有两极值点x1,x2，且x1x2.证明：x1x24.所以h(2x)h(2x)，所以h(x1)h(x2)h[2(x22)]h[2(x22)]h(4x2)，因为x12，4x22，h(x)在(,2)上单调递减所以x14x2，即x1x24。★已知函数f(x)lnx的图象C1与函数g(x)1ax2bx(a0)的图象C2交于P,Q，过PQ的中点R作x轴2的垂线分别交C1，C2于点M,N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.极值点偏移问题在 近几年高考及各种模考， 作为热点以压轴题的形式给出， 很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的 .其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！第二：极值点处理方法一、极值点偏移的判定定理对于可导函数yf(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f(x)0的解分别为x1,x2，且ax1x2b，（1）若f(x1)f(2x0x2)x1x2()x0，即函数yf(x)在区间(x1,x2)上极（小）大值点x0右，则2（左）偏；（2）若f(x1)f(2x0x2)，则x1x2()x0，即函数yf(x)在区间(1,x2)上极（小）大值点x0右2x（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数yf(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，则函数f(x)的单调递增（减）区间为(a,x0)，单调递减（增）区间为(x0,b)，由于ax1x2b，有x1x0，且2x0x2x0，又f(x)f(2x0x)，故x()2xx，所以x1x2()x0，即函数极（小）大值点x0右（左）偏；121022（2）证明略.左快右慢（极值点左偏mx1x2）左慢右快（极值点右偏mx1x2）22左快右慢（极值点左偏mx1x2）左慢右快（极值点右偏mx1x2）22二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：1）求出函数f(x)的极值点x0；2）构造一元差函数F(x)f(x0x)f(x0x)；（3）确定函数F(x)的单调性；（4）结合F(0) 0，判断F(x)的符号，从而确定 f(x0 x)、f(x0 x)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(x1)f(x2)，x0为函数f(x)的极值点，求证：x1x22x0.（1）讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x0；假设此处f(x)在(,x0)上单调递减，在(x0,)上单调递增（2）构造F(x)f(x0x)f(x0x)；注：此处根据题意需要还可以构造成 F(x) f(x) f(2x0 x)的形式.（3）通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x0x)与f(x0x)的大小关系；假设此处F(x)在(0,)上单调递增，那么我们便可得出F(x)F(x0)f(x0)f(x0)0，从而得到：xx0时，f(x0x)f(x0x).（4）不妨设x1x0x2，通过f(x)的单调性，f(x1)f(x2)，f(x0x)与f(x0x)的大小关系得出结论；接上述情况，由于xx0时，f(x0x)f(x0x)且x1x0x2，f(x1)f(x2)，故f(x1)f(x2)f[x0(x2x0)]f[x0(x2x0)]f(2x0x2)，又因为x1x0，2x0x2x0且f(x)在(,x0)上单调递减，从而得到x12x0x2，从而x1x22x0得证.（5）若要证明f'(x1x2)0，还需进一步讨论x1x2与x0的大小，得出x1x2所在的单调区间，从而得出222该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为x1x2x1x2x0，由于f(x)在(,x0)上单调递减，故2x0，故2f'(x1x2)0.2【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f(x0x)与f(x0x)（或f(x)与f(2x0x)）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x1x22x0或f'(x1x2)0的结2论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题三、对点详析，利器显锋芒★已知函数 f(x) xex(x R).(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若x1 x2，且f(x1) f(x2)，证明：x1 x2 2.∵x2 1，∴2 x2 1，f(x)在( ,1)上单调递增，∴ x1 2 x2，∴x1 x2 2.★函数f(x)x44x3与直线ya(a1)交于A(x1,a)、B(x2,a)两点.33证明：x1x22.★已知函数f(x)2x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x24.lnx，若x1x【解析】由函数f(x)2f(x1)f(x2)，则必有x12x2。lnx单调性可知：若x所以4x12，而f(x1)f(4x1)22lnx1ln(4x1)，x14x1令h(x)22lnxln(4x)，则x4xh'(x)22112(4x)22x2x(4x)2x2(4x)x2(4x)2x4xx2(4x)28(x2)20x2(4x)2所以函数h(x)在(0,2)为减函数，所以h(x)h(2)0，所以f(x1)f(4x1)0即f(x1)f(4x1)，所以f(x2)f(4x2)，所以x1x24.★已知函数fxx2exax2是fx的两个零点，证明：x1x22.1有两个零点.设x1,x2四、招式演练★已知函数 gx ex ax2，其中aR,e2.71828L为自然对数的底数，fx是gx的导函数.2（Ⅰ）求 f x的极值；（Ⅱ）若a 1，证明：当x1 x2，且f x1 f x2时， x1 x2 0.【答案】(1)当a 0时， f x无极值;当a 0时, f x有极小值 f ln a a aln a;(2)详见解析.【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数 f（x）的导数，设函数 F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．试题解析：（Ⅰ）f x g x ex ax的定义域为 , ， f x ex a当a 0时， f x 0在x , 时成立， f x 在 , 上单调递增， f x无极值.当a0时，fxexa0解得xlna，由fx0得xlna；由fx0得xlna，所以fx在,lna上单调递减，在lna,上单调递增，故fx有极小值flnaaalna.（Ⅱ）当a1时，xxfxex的定义域为,，fxe1，由fxex10，解得x0.当x变化时，fx，fx变化情况如下表：x,000,f x 0 +f x 单调递减 极小值 单调递增∵x1 x2，且f x1 f x2，则x1 0 x2（不妨设x1 x2）★已知函数fxlnxax2，其中aR（1）若函数fx有两个零点，求a的取值范围；（2）若函数fx有极大值为1，且方程fxm的两根为x1,x2，且x1x2，证明：x1x24a.12【答案】（1）0;（2）见解析.a2e（1）当a 0时， f x 0函数f x在0, 上单调递增，不可能有两个零点（2）当a