2021-2022年高中数学第四章圆的方程2.1直线与圆的位置关系1作业含解析新人教版必修2202202261105

PAGEPAGE4直线与圆的位置关系一、选择题1．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为()A．0或2 B．0或4C．2 D．4解析：选C法一：圆x2＋y2＝m的圆心坐标为(0,0)，半径长r＝eq\r(m)(m＞0)，由题意得eq\f(|m|,\r(2))＝eq\r(m)，即m2＝2m，又m＞0，所以m＝2.法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋m＝0，,x2＋y2＝m))消去y并整理，得2x2＋2mx＋m2－m＝0.因为直线与圆相切，所以上述方程有唯一实数解，因此Δ＝(2m)2－8(m2－m)＝0，即m2－2又m＞0，所以m＝2.2．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2eq\r(3) B．4C．2eq\r(5) D．5解析：选B当圆心和点(1,1)的连线与AB垂直时，弦心距最大，|AB|最小；易知弦心距的最大值为eq\r(2－12＋3－12)＝eq\r(5)，故|AB|的最小值为2eq\r(9－5)＝4.3．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2eq\r(3)时，a等于()A.eq\r(2) B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋1解析：选C圆心C(a,2)到直线l的距离d＝eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝eq\f(|a＋1|,\r(2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a＋1|,\r(2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝4，解得a＝－1－eq\r(2)(舍去)，或a＝eq\r(2)－1.故选C.4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析：选B设点(x，y)与圆C1的圆心(－1,1)关于直线x－y－1＝0对称，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x＋1)＝－1，,\f(x－1,2)－\f(y＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))从而可知圆C2的圆心坐标为(2，－2)，又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，故选B.5．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么()A．m∥l且l与圆相交 B．m⊥l且l与圆相切C．m∥l且l与圆相离 D．m⊥l且l与圆相离解析：选C∵点P(a，b)在圆内，∴a2＋b2＜r2.又∵kOP＝eq\f(b,a)，∴km＝－eq\f(a,b).直线l的方程为ax＋by＝r2，∴kl＝－eq\f(a,b)，∴l∥m.设圆心到直线l的距离为d，则d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＞eq\f(r2,r)＝r，故直线l与圆相离．二、填空题6．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为________．解析：设圆心为(a,0)(a＞0)，则eq\f(|3a＋4|,5)＝2，∴a＝2，故所求方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.答案：x2＋y2－4x＝07．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是____________．解析：直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝eq\f(│1－0＋2│,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以，圆上的点到直线AB的最小距离为eq\f(3\r(2),2)－1，S△ABC＝eq\f(1,2)×│AB│×(eq\f(3\r(2),2)－1)＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×(eq\f(3\r(2),2)－1)＝3－eq\r(2).答案：3－eq\r(2)8．已知圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为________．解析：方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0可化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，它表示圆心为A(－2,1)，半径为3的圆，如右图所示．x2＋y2＝(eq\r(x－02＋y－02))2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然，连接OA并延长交圆于点B，则|OB|2即x2＋y2的最大值，为||OA|＋3|2＝(eq\r(5)＋3)2＝14＋6eq\r(5).答案：14＋6eq\r(5)三、解答题9．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝eq\r(17)，求l的倾斜角；(3)求弦AB的中点M的轨迹方程．解：(1)证明：由已知直线l：y－1＝m(x－1)，知直线l恒过定点P(1,1)．∵12＝1＜5，∴P点在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－12＝5，,mx－y＋1－m＝0，))消去y得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，x1，x∵|AB|＝eq\r(1＋m2)|x1－x2|，∴eq\r(17)＝eq\r(1＋m2)·eq\f(\r(16m2＋20),1＋m2)，∴m2＝3，m＝±eq\r(3)，∴l的倾斜角为eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).(3)设M(x，y)，∵C(0,1)，P(1,1)，当M与P不重合时，|CM|2＋|PM|2＝|CP|2，∴x2＋(y－1)2＋(x－1)2＋(y－1)2＝1.整理得轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0(x≠1)．当M与P重合时，M(1,1)满足上式，故M的轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0.10．已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.(1)求实数a，b间满足的等量关系；(2)求线段PQ的最小值．解：(1)连接OP，∵Q为切点，∴PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.又∵|PQ|＝|PA|，∴|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－1＝(a－2)2＋(b－1)2，整理，得2a＋b(2)由2a＋b－3＝0得b＝－2∴|