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PAGEPAGE4直线与圆的位置关系一、选择题1.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为()A.0或2 B.0或4C.2 D.4解析:选C法一:圆x2+y2=m的圆心坐标为(0,0),半径长r=eq\r(m)(m>0),由题意得eq\f(|m|,\r(2))=eq\r(m),即m2=2m,又m>0,所以m=2.法二:由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y+m=0,,x2+y2=m))消去y并整理,得2x2+2mx+m2-m=0.因为直线与圆相切,所以上述方程有唯一实数解,因此Δ=(2m)2-8(m2-m)=0,即m2-2又m>0,所以m=2.2.过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A.2eq\r(3) B.4C.2eq\r(5) D.5解析:选B当圆心和点(1,1)的连线与AB垂直时,弦心距最大,|AB|最小;易知弦心距的最大值为eq\r(2-12+3-12)=eq\r(5),故|AB|的最小值为2eq\r(9-5)=4.3.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2eq\r(3)时,a等于()A.eq\r(2) B.2-eq\r(2)C.eq\r(2)-1 D.eq\r(2)+1解析:选C圆心C(a,2)到直线l的距离d=eq\f(|a-2+3|,\r(2))=eq\f(|a+1|,\r(2)),所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a+1|,\r(2))))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2=4,解得a=-1-eq\r(2)(舍去),或a=eq\r(2)-1.故选C.4.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1解析:选B设点(x,y)与圆C1的圆心(-1,1)关于直线x-y-1=0对称,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y-1,x+1)=-1,,\f(x-1,2)-\f(y+1,2)-1=0,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y=-2,))从而可知圆C2的圆心坐标为(2,-2),又知其半径为1,故所求圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1,故选B.5.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么()A.m∥l且l与圆相交 B.m⊥l且l与圆相切C.m∥l且l与圆相离 D.m⊥l且l与圆相离解析:选C∵点P(a,b)在圆内,∴a2+b2<r2.又∵kOP=eq\f(b,a),∴km=-eq\f(a,b).直线l的方程为ax+by=r2,∴kl=-eq\f(a,b),∴l∥m.设圆心到直线l的距离为d,则d=eq\f(r2,\r(a2+b2))>eq\f(r2,r)=r,故直线l与圆相离.二、填空题6.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为________.解析:设圆心为(a,0)(a>0),则eq\f(|3a+4|,5)=2,∴a=2,故所求方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.答案:x2+y2-4x=07.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积最小值是____________.解析:直线AB的方程为x-y+2=0,圆心到直线AB的距离为d=eq\f(│1-0+2│,\r(2))=eq\f(3\r(2),2),所以,圆上的点到直线AB的最小距离为eq\f(3\r(2),2)-1,S△ABC=eq\f(1,2)×│AB│×(eq\f(3\r(2),2)-1)=eq\f(1,2)×2eq\r(2)×(eq\f(3\r(2),2)-1)=3-eq\r(2).答案:3-eq\r(2)8.已知圆的方程为x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大值为________.解析:方程x2+y2+4x-2y-4=0可化为(x+2)2+(y-1)2=9,它表示圆心为A(-2,1),半径为3的圆,如右图所示.x2+y2=(eq\r(x-02+y-02))2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显然,连接OA并延长交圆于点B,则|OB|2即x2+y2的最大值,为||OA|+3|2=(eq\r(5)+3)2=14+6eq\r(5).答案:14+6eq\r(5)三、解答题9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设l与圆C交于A,B两点,若|AB|=eq\r(17),求l的倾斜角;(3)求弦AB的中点M的轨迹方程.解:(1)证明:由已知直线l:y-1=m(x-1),知直线l恒过定点P(1,1).∵12=1<5,∴P点在圆C内,所以直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y-12=5,,mx-y+1-m=0,))消去y得(m2+1)x2-2m2x+m2-5=0,x1,x∵|AB|=eq\r(1+m2)|x1-x2|,∴eq\r(17)=eq\r(1+m2)·eq\f(\r(16m2+20),1+m2),∴m2=3,m=±eq\r(3),∴l的倾斜角为eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).(3)设M(x,y),∵C(0,1),P(1,1),当M与P不重合时,|CM|2+|PM|2=|CP|2,∴x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1.整理得轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0(x≠1).当M与P重合时,M(1,1)满足上式,故M的轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0.10.已知⊙O:x2+y2=1和定点A(2,1),由⊙O外一点P(a,b)向⊙O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.(1)求实数a,b间满足的等量关系;(2)求线段PQ的最小值.解:(1)连接OP,∵Q为切点,∴PQ⊥OQ,由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.又∵|PQ|=|PA|,∴|PQ|2=|PA|2,即a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,整理,得2a+b(2)由2a+b-3=0得b=-2∴|
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