2022年安徽省淮南市潘集区高皇镇中学高三数学理期末试卷

2022年安徽省淮南市潘集区高皇镇中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），则△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形参考答案：D【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用两角和与差的正弦将已知中的弦函数展开，整理后利用正弦定理将“边”化角的“正弦”，利用二倍角的正弦公式即可求得答案．【解答】解：∵（a2+b2）（sinAcosB﹣cosAsinB）=（a2﹣b2）（sinAcosB+cosAsinB），∴a2sinAcosB﹣a2cosAsinB+b2sinAcosB﹣b2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinB﹣b2sinAcosB﹣b2cosAsinB，整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，在△ABC中，由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入整理得：sinAcosA=sinBcosB，∴2sinAcosA=2sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或者2A=180°﹣2B，∴A=B或者A+B=90°．∴△ABC是等腰三角形或者直角三角形．故选D．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦，属于中档题．2.从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个的必然事件是（

）A.

个都是正品

B.至少有个是次品C.

个都是次品

D.至少有个是正品参考答案：D

解析：至少有一件正品3.已知四棱锥的三视图如图所示，则围成四棱锥的五个面中，最大的面积是A.3 B.6C.8 D.10参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积．G2C

解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为矩形，矩形的边长分别为2,4，底面面积为8，

可以求得四个侧面的面积分别为，于是最大面积为8.故选C.【思路点拨】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出棱锥的高及侧面SBC的斜高，代入面积公式计算，比较可得答案．4.定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），f（x）=．若关于x的方程f（x）﹣ax=0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是（）A．(,) B．(,) C．(16－6,) D．(,8－2)参考答案：D【分析】由题意可得函数f（x）是以4为周期的周期函数，做出函数y=f（x）与函数y=ax的图象，由图象可得方程y=﹣（x﹣4）2+1=ax在（3，5）上有2个实数根，解得0＜a＜8﹣2．再由方程f（x）=ax在（5，6）内无解可得6a＞1．由此求得正实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）是以4为周期的周期函数，做出函数y=f（x）与函数y=ax的图象，由图象可得方程y=﹣（x﹣4）2+1=ax即x2+（a﹣8）x+15=0在（3，5）上有2个实数根，由解得0＜a＜8﹣2．再由方程f（x）=ax在（5，6）内无解可得6a＞1，a＞．综上可得＜a＜8﹣2，故选D．5.

已知函数，若，则的所有可能值为（

）A.1

B.1或

C.

D.1或参考答案：D6.一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.五位同学在某次考试的数学成绩如茎叶图，则这五位同学这次考试的数学平均分为(

) A．88 B．89 C．90 D．91参考答案：C考点：众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，计算数据的平均数即可．解答： 解：根据茎叶图中的数据，得；这5位同学考试的数学平均数为：（84+86+88+95+97）=90．故答案为：C．点评：本题考查了计算一组数据的平均数的问题，是基础题目．8.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b参考答案：B【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.

9.已知的夹角为120°，则方向上的投影为（

）A．

０

B．１

C．－１

D．２参考答案：A10.设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=(

)A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，二元方程的曲线为C．若存在一个定点A和一个定角，使得曲线C上的任意一点以A为中心顺时针（或逆时针）旋转角，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线C为旋转对称曲线．给出以下方程及其对应的曲线，其中是旋转对称曲线的是

▲

（填上你认为正确的曲线）．

参考答案：12.已知函数.则（ⅰ）=_________；（ⅱ）给出下列四个命题：①函数是偶函数；②存在,使得以点为顶点的三角形是等边三角形；③存在,使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；④存在,使得以点为顶点的四边形是菱形．其中，所有真命题的序号是

．参考答案：(1)(2)(4)略13.圆的方程为若直线与圆有交点，则实数的取值范围是

.参考答案：14.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝___▲____参考答案：略15.

如图，正四面体各棱长均为1，分别在棱上，且，则直线与直线所成角的正切值的取值范围是

参考答案：16.已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是．参考答案：略17.已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2－x≤0}，则A∩B＝

▲

．参考答案：｛0，1｝

考点：集合的运算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，AC与BD交于O，点E为PC上一点，且.（Ⅰ）证明：OE∥平面PAD；（Ⅱ）若直线PB与底面ABCD所成的角为45°，且，求四棱锥P-ABCD的体积.参考答案：（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用得到，结合题目所给条件得到，由此证得平面.（Ⅱ）先证得为直线与底面所成的角，即，根据，求得后利用锥体体积公式计算出的体积.【详解】（Ⅰ）证明：在等腰梯形中，，，，则，所以，又，所以，则平面；（Ⅱ）解：若直线与底面所成角为，而平面，所以为直线与底面所成的角，，则，又在等腰梯形中，，所以，均为等腰直角三角形，，，所以，.所以四棱锥的体积为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明方法，考查四棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.已知函数,其中是自然对数的底数．(1)证明：是上的奇函数；(2)若函数,求在区间上的最大值.

参考答案：(1)略；(2)2.解析：(1)证明:函数的定义域为,且,所以是上的奇函数.

5分(2)解:,

8分不妨令,则,

由可知在上为单调递增函数,所以在上亦为单调递增函数,从而,

10分所以的最大值在处取得,即.

12分另解：令,∵x∈[0,1],∴t∈[1,e]∴原函数可化为：∴

而==又t∈[1,e]时，，∴∴,故在t∈[1,e]上递减∴，即.

略20.已知函数，其中m，a均为实数．（1）求的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．参考答案：解：（1），令，得x=1．

………………1分当时，，由题意知在不单调，设

略21.（本小题满分12分）班主任统计本班50名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图5所示条形图表示．（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；（2）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．参考答案：解：（Ⅰ）平均学习时间为=1.8(小时)．…………………（6分）Ω

（Ⅱ）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x，y)|18≤x≤21，18≤y≤20}，面积SΩ=3×2=6．事件A表示“22时甲、乙都在学习”，所构成的区域为A={(x，y)|20≤x≤21，19≤y≤20}，面积为SA=1