2021-2022学年湖南省常德市夏家巷中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年湖南省常德市夏家巷中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..已知的值为A. B. C. D.2参考答案：C，选C.2.设定义在R上的函数满足以下两个条件：

（1）对成立；

（2）当

则下列不等式关系中正确的是

（

）

A．B．

C．

D．参考答案：B略3.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则（）A．B．

C．D．参考答案：D5.已知,,那么的值为（）A.

B.

C.

D.参考答案：A6.抛物线上的点到直线距离的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.在中，“”是“”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：8.对于函数，下列选项中正确的个数是（

）①在上是递增的

②的图象关于原点对称③的最小正周期为

④的最大值为3A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A试题分析：考点：正弦函数的图象和性质及运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的图象和性质为背景设置了一道求函数解析表达式为的函数,要求判定和推断所给出的四个与其有关的命题的真假问题选择填空,体现了三角函数的图象和性质等有关知识的运用价值.解答过程中先将函数化简为,然后充分利用题设中提供的图形信息和数据等有关信息,逐一进行推理和判断,从而选出正确的答案为④,进而使得问题获解.9.设等比数列的前n项和为，若，，则（）A．17

B．33

C．-31

D．-3参考答案：B10.下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图，（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）

下列说法错误的是（

）A

2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%B

2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%C

2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D

2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点参考答案：C观察表中数据知A,B,D正确，对选项C，2018年2月CPI环比上涨2.9%，同比上涨1.2%，故C错误

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）（2015?上海模拟）已知，||=||=2，与的夹角为，则在上的投影为．参考答案：3【考点】：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．解：∵||=||=2，与的夹角为，∴|+|2=4+4+2||||cos=12，∴|+|=2，∵与的夹角为，∴在上的投影为|+|cos=3故答案为：3【点评】：本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．12.设满足约束条件，则的最大值为______.参考答案：略13.如图所示，在长方体ABCD–EFGH中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内的一点，如果∠MGF=∠MGH，MG和平面EFG所成角的正切值为，那么点M到平面EFGH的距离是

▲

．参考答案：14.在△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2sinA=5sinC，（a+c）2=16+b2，则△ABC的面积是

．参考答案：2【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知等式可得ac=5，由余弦定理可求cosB=，利用同角三角函数基本关系式解得sinB，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵c2sinA=5sinC，∴ac2=5c，可得：ac=5，∵（a+c）2=16+b2，可得：b2=a2+c2+2ac﹣16，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：2ac﹣16=﹣2accosB，整理可得：2ac（1+cosB）=16，∴cosB=，解得sinB==，∴S△ABC=acsinB==2．故答案为：2．15.某校高三数学测试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示。若130—140分数段的人数为90，则90—100分数段的人数为

参考答案：答案：81016.（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形中，，，垂足为，则

．参考答案：本题对数值要敏感，由，可知从而，.17.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于

.参考答案：【知识点】频率分布直方图．L4

【答案解析】60

解析：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【思路点拨】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）当时，试求的单调区间；（2）若在(0,1)内有极值，试求a的取值范围．参考答案：（1）单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；（2）a∈（e，+∞）【分析】（1）首先求得定义域为，求导后，通过证明恒成立可知导函数符号由的符号决定，从而可求得函数的单调区间；（2）将在内有极值转化为在内有零点，即有解，令，，利用导数可求得，从而可验证出时在内有零点，从而得到结果.【详解】（1）由题意知，定义域为：当时，则：令，则当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增

即：对任意的，恒成立当时，；当时，的单调递增区间为：；单调递减区间为：（2）若在内有极值，则在内有零点由，得：，则设，，则恒成立在上单调递减

当时，在内有解设，则当时，

在上单调递减又，

在上有唯一解当时，；当时，当时，在内有唯一极值当时，在上单调递增，不存在极值综上所述：【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、根据极值所在区间求解参数取值范围.根据极值所在区间求解参数的关键是能够将问题转化为导函数在区间内有零点的问题，进而可转化为交点类问题来进行求解.19.已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga，记F（x）=2f（x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．【解答】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）

方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，ymin=5，所以am≥1①若a＞1，由am≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由am≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤020.已知某圆的极坐标方程是，求（Ⅰ）求圆的普通方程和一个参数方程；（Ⅱ）圆上所有点中的最大值和最小值.参考答案：略21.（本题满分12分）命题甲:R,关于x的方程有两个非零实数解;命题乙:R,关于x的不等式的解集为空集;当甲、乙中有且仅有一个为真命题时,求实数a的取值范围.参考答案：当甲真时，设，即两函数图象有两个交点.则当乙真时，时

满足

或也满足则

∴当甲乙有但仅有一个为真命题时，即或∴

22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程．（2）利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和