2021-2022学年湖南省娄底市太平铺中学高二数学理期末试题含解析

2021-2022学年湖南省娄底市太平铺中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对抛物线，下列描述正确的是A.

开口向上，焦点为 B.

开口向上，焦点为C.

开口向右，焦点为 D.

开口向右，焦点为参考答案：A2.两个正数的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D3.算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（

）A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合参考答案：D4.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为

A．

B．C．D．参考答案：B5.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.参考答案：C试题分析：因为双曲线离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.6.对空间任意一点O，若，则A，B，C，P四点()．A．一定不共面

B．一定共面C．不一定共面

D．与O点的位置有关参考答案：B略7.若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是()A．a≤1

B．a≥5C．1≤a≤5

D．a≤5参考答案：D略8.若且，则有

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.若，，则M与N的大小关系为A．M＞N

B.M＜N

C．M=N

D．不能确定参考答案：A10.若命题“p且q”为假，且“?p”为假，则（）A．“p或q”为假 B．q假 C．q真 D．p假参考答案：B【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据复合命题真假之间的关系进行判断即可．【解答】解：若“?p”为假，则p为真命题．，∵“p且q”为假，∴q为假命题．，故选：B【点评】本题主要考查复合命题真假的判断，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是奇函数，且在（－，０）上是增函数，，则不等式的解集是___

_____.参考答案：12.等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若，则

．参考答案：27等差数列{an}中，，根据等差数列的性质得到故答案为：27.

13.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为

.参考答案：14.从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．参考答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)215.计算的值等于____________.参考答案：16.若命题“x∈R，x2+ax+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是

.参考答案：∪略17.已知球的体积为36π，球的表面积是

．参考答案：36π【考点】球的体积和表面积．【分析】通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为球的体积为36π，所以=36π，球的半径为：r=3，所以球的表面积为：4π×32=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在棱长为2的正方体中，设是棱的中点.⑴求证：；⑵求证：平面；⑶．求三棱锥的体积.参考答案：证明：连接BD，AE.

因四边形ABCD为正方形，故，因底面ABCD，面ABCD，故，又，故平面，平面，故.-----------4分⑵.连接，设，连接，则为中点，而为的中点，故为三角形的中位线，，平面，平面，故平面.-----------8分⑶.由⑵知，点A到平面的距离等于C到平面的距离，故三棱锥的体积，而，三棱锥的体积为.……---12分19.已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e2（a为实数）．（1）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）若存在两不等实数x1，x2∈[，e]，使方程g（x）=2e2f（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=5时，化简函数y=g（x），求出切点坐标，通过导数求解切点斜率，然后求解x=1处的切线方程；（2）求解f（x）的导数，求出极值点，列表，然后求解在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）化简方程g（x）=2e2f（x），构造新函数，通过求解函数的导数，推出函数的极值以及区间上的最值，然后推出实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）当a=5时，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）e2，g（1）=e．g′（x）=（﹣x2+3x+2）e2，故切线的斜率为g′（1）=4e．所以切线方程为：y﹣e=4e（x﹣1），即y=4ex﹣3e．…（2）函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），则f′（x）=lnx+1，lnx+1=0，解得x=．xf′（x）﹣0+f（x）单调递减极小值（最小值）单调递增①当t≥时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，所以f（x）min=f（t）=tlnt．②当t∈时，在区间（t，）上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数，所以f（x）min=f（）=﹣

…（3）由g（x）=2e2f（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3，a=x+2lnx+，令h（x）=x+2lnx+，h′（x）=1+=．x1（1，e）h′（x）﹣0+h（x）单调递减极小值（最小值）单调递增，h（1）=4，．．∴实数a的取值范围为4．…20.袋中有大小、形状完全相同的红球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球或绿球的概率是，得到红球或黄球的概率是．（Ⅰ）从中任取一球，求分别得到红球、黄球、绿球的概率；（Ⅱ）从中任取一球，求得到不是“红球”的概率．参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（Ⅰ）从12个球中任取一个，记事件A=“得到红球“，事件B=“得到黄球”，事件C=“得到绿球”，事件A，B，C两两相斥，由此利用互斥事件概率加法公式能分别求出得到红球、黄球、绿球的概率．（Ⅱ）事件“不是红球”可表示为事件“B+C”，由此利用互斥事件概率加法公式能求出得到的不是红球的概率．【解答】解：（Ⅰ）从12个球中任取一个，记事件A=“得到红球“，事件B=“得到黄球”，事件C=“得到绿球”，事件A，B，C两两相斥，由题意得，解得，∴得到红球、黄球、绿球的概率分别为．（Ⅱ）事件“不是红球”可表示为事件“B+C”，由（Ⅰ）及互斥事件概率加法公式得：P（B+C）=P（B）+P（C）=，∴得到的不是红球的概率为．21.（本小题满分7分）

已知数列满足，且。

（Ⅰ）求，，的值；

（Ⅱ）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想。参考答案：解：（Ⅰ）由题意知将代入解得

1分同理可得

3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想（）

4分证明：（1）当时，左边右边猜想成立。（2）假设当（）时猜想成立，即

5分那么，由可得

6分即当时猜想也成立。根据（1）和（2），可知猜想对任意都成立

7分22.已知函数．（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数，的值；（2）若，求的单调减区间；（3）对一切实数a?(0,1)，求f(x)的极小值的最大值．参考答案：解：（1），

由，得a=5．

∴．则．

则（2，3）在直线上．∴b=-15．

（2）①若，，∴的单调减区间为（1，+∞）．

②若，则令，得．∴，或x>1．