2021-2022学年湖北省随州市私立女子职业中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年湖北省随州市私立女子职业中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象大致是（

）A. B.C. D.参考答案：A本题可以充分利用选项的渐近线以及函数在一定的区域上的符号即可以判断，如：当当时，恒有,故排除选项D等等.解答：因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当时，恒有，故排除D；时，，故可排除B；故选A.说明：本题考查函数的图像.2.已知函数，且，则当时,的取值范围是A． B． C． D．

参考答案：D【知识点】函数的单调性、奇偶性；简单的线性规划因为，且，所以函数为奇函数，且在R上是增函数，所以由得，，即，即，其表示圆及其内部，表示满足的点P与定点A(-1,0)连线的斜率，结合图形分析可得，直线AC的斜率最小，切线AB的斜率最大。【思路点拨】先由，且判断出函数的奇偶性以及单调性，再结合表示的几何意义求出范围即可。

3.函数的定义域为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知是定义域为(－∞,+∞)的奇函数,满足.若，则（

）A.1 B.0 C.2 D.50参考答案：C分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5.的值为（

）． A． B． C． D．参考答案：A∵．故选．6.设函数，若实数使得对任意实数恒成立，则的值等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x-c）=2，于是取a=b=，c=π，则对任意的x∈R，f（x）+f（x-c）=1，由此得=-1，选C7.若复数的实部与虚部相等，则实数(

)A. B.

C.

D.参考答案：A8.已知f(x)是R上的奇函数，且为偶函数，当时，，则=（）A. B. C.1 D.﹣1参考答案：A【分析】先根据函数奇偶性确定函数周期性，再根据周期将自变量化到[-1,0]，代入解析式得结果.【详解】因为为偶函数，所以，又是R上的奇函数，所以，即，，从而=，选A.【点睛】本题考查运用函数奇偶性求周期性并利用周期性求解函数值，考查转化求解能力.9.数列{an}满足a1=1，a2=，并且an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推关系式推出{}为等差数列，然后求出结果即可．解答： 解：∵an（an﹣1+an+1）=2an+1an﹣1（n≥2），∴anan﹣1+anan+1=2an+1an﹣1（n≥2），两边同除以an﹣1anan+1得：=+，即﹣=﹣，即数列{}为等差数列，∵a1=1，a2=，∴数列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴an=，即a2015=，故选：C．点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10.设是定义在R上的奇函数，且当时单调递减，若，则的值

(

）A．恒为负值

B．恒等于零

C．恒为正值

D．无法确定正负参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为；②若、为锐角，则；③函数的一条对称轴是；④是函数为偶函数的一个充分不必要条件.其中真命题的序号是

.参考答案：②③④12.已知函数，等于抛掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则在上有偶数个零点的概率是．参考答案：13.若，则cos2θ=

．参考答案：【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案为：﹣．14.已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是

。参考答案：答案：215.如图,在三棱锥中,、、两两垂直,且．设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立,则正实数的最小值为______________.参考答案：1略16.执行右图所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围为

．参考答案：略17.展开式中的系数为__________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X服从正态分布，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为，求的数学期望．附：若随机变量X服从正态分布，则，，．参考公式与临界值表：，其中．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828

参考答案：（1）甲，乙；（2）没有90％的把握；（3）.【分析】（1）由茎叶图的中位数计算即可；（2）得2×2列联表，再根据表中数据计算K2，结合临界值表可得；（3）因，所以，,由题意可知，计算即可.【详解】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为，乙校学生数学成绩的中位数为，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高．（2）由题意，作出列联表如下：

甲校乙校合计数学成绩优秀10717数学成绩不优秀101323合计202040

计算得的观测值，所以没有90的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（3）因为，所以，，所以，所以，由题意可知，所以．【点睛】本题考查了茎叶图的中位数，独立性检验和正态分布与二项分布的综合，属于中档题.19.已知点M（3，1），直线ax﹣y+4=0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相切，求a的值．参考答案：【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，可得当直线的斜率不存在时方程为x=3，符合题意．而直线的斜率存在时，利用点斜式列式并结合点到直线的距离公式加以计算，得到切线方程为3x﹣4y﹣5=0，即可得到答案．（2）根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值．【解答】解：（1）∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心C（1，2），半径r=2，①当过M点的直线的斜率不存在时，方程为x=3，由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3﹣1=2=r知，此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0．根据题意，可得=2，解得k=，此时切线方程为y﹣1=（x﹣3），即3x﹣4y﹣5=0综上所述，过M点的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0．（2）由题意，直线ax﹣y+4=0到圆心的距离等于半径，可得，解之得a=0或．【点评】本题给出直线与圆相切，求切线的方程与参数a的值．着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．20.（本小题共14分）已知实数组成的数组满足条件：①；

②.(Ⅰ)当时，求，的值；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设,且，

求证：.参考答案：(Ⅰ)解：

由（1）得，再由（2）知，且.当时，.得，所以……………2分当时，同理得………………4分（Ⅱ）证明：当时，由已知,.所以.………………9分（Ⅲ）证明：因为，且.所以,即

.……………11分).……………14分21.选修4-5：不等式证明选讲已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b）?=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．22.（本小题满分12分）已知为等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式及其前项和；（Ⅱ）若数列满足求数列的通项公式.参考答案：解（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为，①-②得