2021-2022学年浙江省嘉兴市嘉善县中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年浙江省嘉兴市嘉善县中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正方体ABCD-A′B′C′D′棱长为6，点P在棱AB上，满足PA=2PB，过点P的直线l与直线A′D′、CC′分别交于E、F两点，则EF=（

）A．

B．

C.14

D．21参考答案：D如图，过点与做平面分别与直线交于，连接与直线交于点，则可求,，，故选D.

2.设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=A.{1，2，3，4，6}

B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}

D.{1,2}参考答案：D

Q{3，4，5}，CUQ={1，2，6}，

P∩（CUQ）={1，2}.3.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．解答： 解：由球的体积公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：?a=1，∴a=2．∴该正三棱柱的表面积为：3a?2R+2×=18．故选C．点评：本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．4.已知有穷数列中，，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（

）A．

B．

C.

D．与的大小关系不确定参考答案：A5.已知为纯虚数，且为虚数单位），则（

）A．1

B．

C．

D．

参考答案：D设，则，即，所以，则，故选D．6.已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3 B．k≥e3 C．k＞e4 D．k≥e4参考答案：C【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．7.已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}则A∩B=A．（-，-1）

B．（-1，-）

C．（-,3）

D．(3,+)参考答案：D和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为，利用二次不等式可得或画出数轴易得：．故选D．8.设是直线,a,β是两个不同的平面（）A．若∥a,∥β,则a∥β

B．若∥a,⊥β,则a⊥βC．若a⊥β,⊥a,则⊥β

D．若a⊥β,∥a,则⊥β参考答案：B9.设集合，则满足的集合B的个数是

（A）

(B)

(C)

(D)参考答案：C因为，所以,所以共有4个，选C.10.在△ABC中，则∠BAC=

A．30°

B．120°

C．150°

D．30°或150

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等边△ABC的边长为2，D,E分别为BC,CA的中点，则=

.参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．解析：由于D，E分别为边BC，CA的中点，则=（+），=（+），则?=（+）?（+）=（﹣﹣﹣+）=×（﹣4﹣2×﹣2×2×+2×2×）=．故答案为：．【思路点拨】运用中点的向量表示形式，结合向量的数量积的定义和性质，计算即可得到所求值．

12.已知，各项均为正数的数列满足，若，则__________.参考答案：略13.设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是

.参考答案：214.有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，其中．从这张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于”为，则

．参考答案：解析：对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即，而基本事件有20种，因此15.等差数列{}中则此数列前项和等于

参考答案：180.

略16.

对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．参考答案：1

17.设二次函数的值域为，则的最小值为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n人，成绩分为A(优秀)、B（良好）、C(及格)三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的概率．参考答案：

略19.（13分）

如图，是函数在同一个周期内的图像。

（I）求函数的解析式；

（II）将函数平移，得到函数的最大值，并求此时自变量x的集合。参考答案：解析：（I）由图知：，得A=2；

由A+B=3，得B=1；

设将函数的图象向左平移，得的图象，则

……8分

（II）依题意：当此时x的取值集合为

…………13分20.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线的方程是，直线的参数方程为（t为参数，），设，直线与曲线交于两点.（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.参考答案：（1）曲线的方程是，化为，化为，所以，曲线的方程，当时，直线，代入方程，解得或，所以。（2）将代入到，得，由，化简得，所以，所以，所以21.(本小题满分12分)在△ABC中，已知A=，．

(I)求cosC的值；

(Ⅱ)若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．参考答案：解：（Ⅰ）且，∴

…………2分

……………4分

…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得

……8分由正弦定理得，即，解得．

………………10分 在中，，所以略22.已知函数f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m，对x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，对x∈（0，+∞）恒成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”，试问：f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）在定义域内解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，可求得k=，则“分界线“的方程为：y=．只需在证明g（x）≤对x∈（0，+∞）恒成立即可；【解答】解：（I）由于函数f（x）=，g（x）=elnx，因此，F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，则F′（x）=x﹣==，x∈（0，+∞），当0＜x＜时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是减函数；当x＞时，F′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函数；因此，函数F（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+∞）．（II）由（I）可知，当x=时，F（x）取得最小值F（）=0，则f（x）与g（x）的图象在x=处有公共点（，）．假设f（x）与g（x）存在“分界线”，则其必过点（，）．故设其方程为：y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k对x∈R恒成立，则对x∈R恒成立，∴=4k2﹣