高中数学人教A版第二章平面向量 学业分层测评18

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq\f(2,3)，则a·b为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(4,3)C．3 D．2【解析】由数量积的几何意义知a·b＝eq\f(2,3)×3＝2，故选D．【答案】D2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于()A．－2 B．－1C．1 D．2【解析】因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B．【答案】B3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2 B．4C．6 D．12【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6.【答案】C4．(2023·宁波期末)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为()【导学号：00680056】A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6) D．eq\f(2π,3)【解析】|a－b|＝eq\r(（a－b）2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(3)，设向量a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·（a－b）,|a||a－b|)＝eq\f(22－1,2×\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).故选A．【答案】A5．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是()A．－25 B．25C．－24 D．24【解析】因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝·＋(＋)＝0＋·＝－2＝－25.【答案】A二、填空题6．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．【解析】∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，∴12λ－2＝0，∴λ＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________．【解析】∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.又a·b＝|a||b|cos60°＝eq\f(1,2)，∴m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.【答案】5或－8三、解答题8．已知向量a、b的长度|a|＝4，|b|＝2.(1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b|；(2)若|a＋b|＝2eq\r(3)，求a与b的夹角θ.【解】(1)a·b＝|a||b|cos120°＝4×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4.又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a－4b|＝4eq\r(19).(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2a·b＋22＝(2eq\r(3))2，∴a·b＝－4，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4,4×2)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).9．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．【解】如图，a＋b＋c＝0.则a＋b＝－c，即(a＋b)2＝(－c)2，故a2＋2a·b＋b2＝c2.①同理，a2＋2a·c＋c2＝b2,②b2＋2b·c＋c2＝a2.③由①－②，得b2－c2＝c2－b2，即2b2＝2c2，故|b|＝|c|.同理，由①－③，得|a|＝|c|.故|a|＝|b|＝|c|，故△ABC为等边三角形．[能力提升]1．(2023·玉溪高一检测)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2,3)π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))【解析】因为Δ＝a2－4|a|·|b|cosθ(θ为向量a与b夹角)．若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cosθ≥0，又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cosθ≥0，∴cosθ≤eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，∴eq\f(π,3)≤θ≤π.【答案】B2．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．【解】∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－eq\f(1,2)＋1＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(（e1＋e2）2)＝eq\r(1＋2×\f(1,2)＋1)＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(（e2－2e1）2)＝eq\