2021-2022学年河南省平顶山市舞钢安寨中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年河南省平顶山市舞钢安寨中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向区域内投点，则该点落在由与围成区域的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】求得交点坐标后，利用定积分的知识可求得两函数围成区域的面积，根据几何概型概率公式可求得结果.【详解】由解得交点坐标为：由与围成区域的面积为：又区域的面积为：所求概率：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积型的概率问题的求解，涉及到利用定积分求解曲边图形的面积.2.已知P、A、B、C是球面上四点，,则A、B两点间的球面距离是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.如右图，直四棱柱的底面是矩形,

且,,，以为圆心，为半径在侧面上画弧，当半径的端点完整地划过时，半径扫过的轨迹形成的曲面的面积为(

)..

.

.

.参考答案：D4.不等式的解集是A.

B.C.

D.参考答案：A5.设，其中实数满足且，则的最大值是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【答案解析】D

解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由由z=2x+5y，得，平移直线，当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大.由得，即此时故选D.【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可.6.已知条件，条件，则是成立的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件参考答案：B由得，或，所以：，所以是成立的必要不充分条件，选B.7.若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：3（x﹣a）+2（y+1）=3x+2y+2﹣3a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a，经过A时，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查目标函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．8.数列满足，，记数列前n项的和为Sn，若对任意的恒成立，则正整数的最小值为

（

）A．10

B．9

C．8

D．7参考答案：A9.不等式组表示的平面区域的面积是(

)

A.

B.0

C.

D.参考答案：A10.已知是定义在上的奇函数，满足,当时,，则函数在区间上的零点个数是

（

）

A．3

B．5

C．7

D．9参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，∠C=，则∠AED=．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：如图所示，连接OE．利用切线的性质及CD与⊙O相切于点E，可得OE⊥CD．即可得出∠COE，由OE=OA，可得∠OEA即可．解答：解：如图所示，连接OE．∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD．∵，∴．∵OA=OE，∴．∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的切线的性质、圆的性质是解题的关键．12.直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．参考答案：±【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，|AB|=|t1﹣t2|=?（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=?（t1+t2）2﹣4t1t2=10，?cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．13.函数,则的解集为

.

参考答案：14.

.参考答案：15.函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线（，）上，则=

；的最小值为

．参考答案：，.试题分析：由题意得，，∴，∴，当且仅当等号成立，即最小值是，故填：，.考点：1.对数函数；2.基本不等式.16.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则参考答案：做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知点D到直线的距离最大，此时，解得。17.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体

的体积是___________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)设直线与曲线交于两点，若点的坐标为(3,0)，求的值.参考答案：(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为.(2)将代入，得，化简得，设对应的参数分别为，则.19.已知函数，不等式的解集为M.（1）求M；（2）记集合M的最大元素为m，若a、b、c都是正实数，且.求证：.参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）分、、三种情况，去绝对值解不等式，可得出集合；（2）由（1）知，，则，然后将代数式与相乘，利用柯西不等式可证明出.【详解】（1）.当时，，解得，此时；当时，，解得，此时；当时，，解得，此时.故不等式的解集为，因此，集合；（2）由（1）可知，，由柯西不等式得，即，当且仅当时，即当，，时取等号.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用柯西不等式证明三元不等式，解题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20.（12分）已知函数.（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.参考答案：解：（1）f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），因为，所以f(x)在（0，1），（1，+∞）单调递增．因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．综上，f（x）有且仅有两个零点．（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．由题设知，即，故直线AB的斜率．曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．

21.（本小题满分12分）在一次高三数学考试中，第22、23、24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题．按照以往考试的统计，考生、、中，、选做以上每道试题的可能性均为，只选做23、24题，且他选做这两道试题中每道试题的可能性均为．他们在考试中都按规定选做了其中一道试题．（Ⅰ）求考生、、最多有1人选做第23题的概率；（Ⅱ）设考生、、在第22、23、24中所选择的不同试题个数为，求的分布列及．参考答案：解：（Ⅰ）设“考生、、最多有1人选做第23题”为事件，选做23题的人数为，则故考生、、中最多有1人选做第23题的概率为