2021-2022学年江苏省淮安市洪泽外国语中学高二数学文联考试卷含解析

2021-2022学年江苏省淮安市洪泽外国语中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=lgx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=[f（a）+f（b）]，则p，q，r的大小关系是（）A．p=r＞q B．p=r＜q C．q=r＜p D．q﹣r＞p参考答案：B【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算性质可得p=r，再由基本不等式及对数函数的单调性可得p＜q，则答案可求．【解答】解：∵p=f（）=lg=（lga+lgb），r=[f（a）+f（b）]=（lga+lgb），∴p=r，又q=f（）=lg，而，∴q＞p=r．故选：B．2.f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0．则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．5B．4C．3D．2参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】根据题意，由f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f（2）=0，可得f（﹣2）=0，重复利用函数的周期性，看在区间（0，6）内，还能推出哪些数的函数值等于0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且周期是3，f（2）=0，∴f（﹣2）=0，∴f（5）=f（2）=0，f（1）=f（﹣2）=0，f（4）=f（1）=0．即在区间（0，6）内，f（2）=0，f（5）=0，f（1）=0，f（4）=0，故答案：B3.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为(A)大前提错误

(B)小前提错误

(C)推理形式错误

(D)非以上错误参考答案：A4.若实数满足则的最小值是（

）

A.0

B.

C.1

D.2参考答案：A略5.若关于x的方程x2+4x+|m﹣1|+2|m|=0（m∈R）有实根，则m的取值范围是（） A．m≥或m≤﹣1 B． ﹣1≤m≤0 C． ﹣1≤m≤ D． 0≤m≤参考答案：C略6.下列证明中更适合用反证法的是（

）A.证明B.证明是无理数C.证明D.已知，证明参考答案：B【分析】对选项进行分析，选项A可用数学归纳法或者裂项相消法证明，选项B适合于反证法，选项C可用二倍角余弦公式证明，选项D可先计算的值，代入计算可得证明，综合可得答案.【详解】解：选项A，可得，适合直接证明；选项B并不适合直接证明，适合反证法；选项C，可得，适合直接证明；选项D，可得，将右边式子化简可得证明，也适合直接证明；所以选项B的证明更适合用反证法，故选B.【点睛】本题主要考查直接证明和反证法的相关知识，及数列，三角函数的相关知识，需知道反证法适用的场所.7.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

01983204

9234

4934

8200

3623

4869

6938

7481A．08 B．07 C．02 D．01参考答案：D考点：简单随机抽样．专题：概率与统计．分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选D．点评：本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．8.已知函数若，则的取值范围是A．B．或C．D．-1<或．参考答案：B略9.函数的图象大致是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】判断函数的奇偶性，并根据该函数在和上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.【详解】易知函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，排除B选项；当时，，此时，，排除C选项；当时，，此时，，排除D选项.故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，再利用函数解析式来识别函数图象时，一般利用以下五个要素来对函数图象逐一排除：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）单调性；（4）零点；（5）函数值符号.考查推理能力，属于中等题.10.已知对任意,函数的值恒大于零，则a的取值范围为(

)A． (－∞,1)

B．(－∞,0)

C． (－2,1)

D．(－2,0)参考答案：A函数的对称轴为①当，即时,的值恒大于0等价于,解得,

不存在符合条件的;

②当,即时,只要,即,不存在符合条件的;

③当,即时,只要,即,

综上可知,当时,对任意,函数的值恒大于0。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则＝．参考答案：12.(1)下面算法的功能是

。(2)下列算法输出的结果是（写式子）

(3）下图为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为

参考答案：(1)统计x1到x10十个数据中负数的个数。(2)(3）i>20

13.如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②∥面；③；④面面。其中正确的命题的序号是___________

.（写出所有你认为正确结论的序号）参考答案：(1)(2)(4)14.已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是

．参考答案：a≥．

【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．【解答】解：?x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．故答案为：a≥．15.定义在R上的函数，如果对任意的都有，则

。参考答案：1000

16.已知的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x项的系数是_______．参考答案：9【分析】令，可得：，解出的值，再利用通项公式即可得到答案。【详解】由于的展开式中各项系数和为2，令，可得：，解得：，的展开式的通项公式，要得到展开式中含项的系数，则或，解得或4；所以展开式中含项的系数故答案为：917.若a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，①当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β；②当bα时，若α⊥β，则b⊥β③当bα时，若a∥α，则a∥b：④若a，b异面，则有无数条直线与a，b都垂直；⑤若α⊥β，a⊥α，b⊥β，

则a⊥b.真命题的序号是_________________.参考答案：①④⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）当时，如果函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；（3）求证：（n∈N*）．参考答案：【考点】R6：不等式的证明；51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用函数f（x）的导数求出它的单调区间和极值，由题意知k大于f（x）的极大值，或k小于f（x）的极小值．（2）令h（x）=f（x）﹣1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用h（1）=0，分x＞1、0＜x＜1、当x=1三种情况进行讨论．（3）根据（2）的结论，当x＞1时，，令，有，可得，由，证得结论．【解答】解：（1）当时，，定义域是（0，+∞），求得，令f'（x）=0，得，或x=2．∵当或x＞2时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，]、（2，+∞）上单调递增，在上单调递减．∴f（x）的极大值是，极小值是．∵当x趋于0时，f（x）趋于﹣∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点，k的取值范围是{k|k＞3﹣ln2，或}．（2）当a=2时，，定义域为（0，+∞）．令，∵，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数．

①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；

③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．（3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．【点评】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识，属于中档题．19.已知椭圆过点，其焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为.当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（I）解：依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：，所以椭圆的方程为.（II）（ⅰ）设，则椭圆在点B处的切线方程为

令，，令，所以又点B在椭圆的第一象限上，所以

，

，当且仅当所以当时，三角形OCD的面积的最小值为

（Ⅲ）设，则椭圆在点处的切线为：又过点，所以，同理点也满足，所以都在直线上，即：直线MN的方程为

所以原点O到直线MN的距离，所以直线MN始终与圆相切.

略20.（本小题10分）如图所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．参考答案：方法一(1)证明：如图所示，因为BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以AC⊥B1D.(2)因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．如图所示，联结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，从而Rt△ABC∽Rt△DAB，21.（本题满分16分）如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点．（1）求异面直线和所成的角的余弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；参考答案：解：（1）以D为坐标原点，以为正交基底建立空间直角坐标系如图，则，，，，

……6分

异面直线和所成的角的余弦值；……7分（2）平面BDD1的一个法向量为设平面BFC1的法向量为∴取得平面BFC1的一个法向量，……14分∴所求的余弦值为

……16分22.如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】法一：（Ⅰ）连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，可证A1O⊥底面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明向量的数量积为0即可得到BD⊥AA1；（Ⅱ）确定平面AA1C1C、平面AA1D的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，求出平面DA1C1的法向量，利用数量积为0，即可求得结论．法二：（Ⅰ）先证明BD⊥平面AA1O，即可证得AA1⊥BD；（Ⅱ）过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则∠DEO为二面角D﹣AA1﹣C的平面角，求出OE、DE，即可求得二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）存在这样的点P，连接B1C，在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，可得四边形BB1CP为平行四边形，进而利用线面平行的判定可得结论．【解答】法一：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°∴A1O2=AA12+AO2﹣2AA1?Aocos60°=3∴AO2+A1O2=A12∴A1O⊥AO，∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AO∴A1O⊥底面ABCD∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0），A1（0，0，）

…∵，，∴∴BD⊥AA1…（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量设⊥平面AA1D，，则由得到，∴…∴所以二面角D﹣A1A﹣C的平面角的余弦值是…（Ⅲ）解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1设，则得…设⊥平面DA1C1，，则由得到，∴…又因为平面D