2021-2022学年江苏省南京市第五十中学高一数学理模拟试题含解析

2021-2022学年江苏省南京市第五十中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是（） A.球

B.圆

C.球面

D.正方体参考答案：C2.已知，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（

）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③参考答案：B【分析】说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当与相交时，是否在平面内有不共线的三点到平面的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.【点睛】本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程.4.设f（x）=﹣，若规定＜x＞表示不小于x的最小整数，则函数y=＜f（x）＞的值域是（）A．{0，1} B．{0，﹣1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}参考答案：B【考点】函数的值域．【分析】先求出y的值域，再根据新的定义“＜x＞表示大于或等于x的最小整数”的意义，再利用x≤＜x＞＜x+1即可解出本题．【解答】解：f（x）=﹣=﹣=﹣，∵3x+1＞1，∴0＜＜1，∴﹣1＜＜0，∴﹣＜﹣＜，∵规定＜x＞表示不小于x的最小整数，∴x≤＜x＞＜x+1，∴﹣1≤＜f（x）＞＜1∴函数y=＜f（x）＞的值域为{0，﹣1}，故选：B【点评】本题是新定义问题，解题的关键在于准确理解新的定义“＜x＞表示大于或等于x的最小整数”的意义，得到x≤＜x＞＜x+1，属于难题．5.设函数f(x)＝(x－1)2＋n，(x∈[－1,3]，n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，则cn＝b－anbn是()A．公差不为零的等差数列B．公比不为1的等比数列C．常数列D．既不是等差也不是等比数列参考答案：A∵f(x)＝(x－1)2＋n，x∈[－1,3]，n∈N*，∴an＝f(1)＝n，bn＝f(－1)＝f(3)＝n＋4.∴cn＝b－anbn＝bn(bn－an)＝4(n＋4)．∴cn＋1－cn＝4.∴{cn}是公差不为零的等差数列．6.（5分）f（x）=是R上的增函数，则a的范围是（） A． （﹣∞，2] B． （﹣∞，1] C． [1，+∞） D． [2，+∞）参考答案：B考点： 函数单调性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据分段函数单调性的性质进行求解即可．解答： ∵f（x）是R上的增函数，∴0+a≤20=1，即a≤1，故选：B．点评： 本题主要考查函数单调性的应用，利用分段函数端点处的大小关系是解决本题的关键．7.已知函数在时取得最大值，在时取得最小值，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略8.已知等差数列{an}的前项和为Sn，若则a7+a17=25﹣S23，则a12等于（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．参考答案：C【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组得a1+11d=1，由此能求出a12．【解答】解：∵等差数列{an}的前项和为Sn，a7+a17=25﹣S23，∴，整理，得a1+11d=1，∴a12=a1+11d=1．故选：C．9.已知,则的值为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据辅助角公式即可。【详解】由辅助角公式得所以，选C.【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用：，属于基础题。10.设，，，则

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的非空真子集为

；参考答案：{a},{b}12.设，则————参考答案：{-1}13.设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是

参考答案：2

略14.在中，内角A、B、C依次成等差数列，，则外接圆的面积为__

___.参考答案：15.若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1+2的图象一定过点．参考答案：（1，3）；【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用指数函数过定点的性质进行判断．【解答】解：方法1：平移法∵y=ax过定点（0，1），∴将函数y=ax向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y=ax﹣1+2，此时函数过定点（1，3），方法2：解方程法由x﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3，即函数y=ax﹣1+2的图象一定过点（1，3）．故答案为：（1，3）【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1，则用解方程的方法比较简单．16.设是正项数列，它的前项和满足：，则

参考答案：略17.函数f（x）=，则当f（x）≥1时，自变量x的取值范围为．参考答案：（﹣∞，1]∪[，3]【考点】5B：分段函数的应用．【分析】根据题意分两种情况x＞2和x≤2，代入对应的解析式列出不等式求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴分两种情况：①当x＞2时，由f（x）≥1得，，解得2＜x≤3，②当x≤2时，由f（x）≥1得，|3x﹣4|≥1，即3x﹣4≥1或3x﹣4≤﹣1，解得，x≤1或x≥，则x≤1或≤x≤2．综上，所求的范围是（﹣∞，1]∪[，3]．故答案为：（﹣∞，1]∪[，3]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数且．（）求的值．（）若函数有零点，求实数的取值范围．（）当时，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：见解析（）对于函数，由，求得，故．（）若函数有零点，则函数的图像和直线有交点，∴，求得．（）∵当，恒成立，即恒成立，令，则，且，因为在上单调递减，∴，∴．19.（8分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形）参考答案：解：设生产甲产品吨，生产乙产品吨，利润

则有：

……3分作出不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：

……5分目标函数

作直线：，平移，观察知，当经过点时，取到最大值解方程组得的坐标为

……8分20.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．（1）求证：AP∥平面MBD；（2）若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）设AC∩BD=H，连接EH，由平行四边形的性质结合题意证出MH为△PAC中位线，从而得到MH∥PA，利用线面平行的判定定理，即可证出PA∥平面MBD．（2）由线面垂直的定义证出PD⊥AD，结合AD⊥PB得到AD⊥平面PDB，得AD⊥BD，再根据PD⊥BD且PD、AD是平面PAD内的相交直线，可得BD⊥平面PAD．【解答】解：（1）设AC∩BD=H，连接MH，∵H为平行四边形ABCD对角线的交点，∴H为AC中点，又∵M为PC中点，∴MH为△PAC中位线，可得MH∥PA，MH?平面MBD，PA?平面MBD，所以PA∥平面MBD．（2）∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，∴AD⊥平面PDB，结合BD?平面PDB，得AD⊥BD∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD内的相交直线∴BD⊥平面PAD．21.（本题满分14分）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若，，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为（a

<

20）,且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出的值．

（3）归纳与拓展：已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b

<

c），且它是4阶奇异矩形，求b︰c（直接写出结果）．参考答案：（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：

2分（2）裁剪线的示意图如下：

4分