高中数学人教A版第一章空间几何体

第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课时目标1.能描述空间几何体、多面体和旋转体的概念．2．能根据几何结构特征对空间物体进行分类.3．会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征，会表示有关几何体．识记强化1．一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．2．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫棱柱．棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()答案：C解析：根据三棱柱的立体图，可以知道选项C中的图形不是三棱柱的展开图．2．下列说法正确的是()A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱不全相等C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体D．棱柱中至少有两个面平行答案：D解析：根据棱柱的概念，可以知道棱柱中至少有两个面平行，所以选D.3．下列说法正确的是()A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B．四面体一定是三棱锥C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥答案：B解析：对于A，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，A错误；B显然正确；对于C，举反例，如图所示，在棱锥A－BCD中，AB＝BD＝AC＝CD＝3，BC＝AD＝2，满足侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正棱锥，C错误；对于D，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥，D错误．4．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC5．如果一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥答案：D解析：由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．6．如图(1)(2)(3)(4)都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2)B．(2)(3)C．(3)(4)D．(1)(4)答案：B解析：将所给的四个展开图均还原成正方体，在图(1)中，①⑤，②④，③⑥分别为相对的面；在图(2)中，②⑤，①④，③⑥分别为相对的面；在图(3)中，②⑤，①④，③⑥分别为相对的面；在图(4)中，①⑥，②⑤，③④分别为相对的面，所以还原成正方体后，两个完全一样的是图(2)(3)．二、填空题(每个5分，共15分)7．在如图所示的7个几何体中，有________个是棱柱．答案：3解析：图中①③⑤都是棱柱，故有3个是棱柱．8．如下图所示，在长方体中，AB＝2cm，AD＝4cm，AA′＝3cm，则在长方体表面上连接A、C′两点的所有曲线的长度的最小值为________．答案：eq\r(41)cm解析：将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下图所示的三个图中，从而，连接AC′的诸曲线中长度最小的为eq\r(41)cm(如图乙所示)．9．已知正四面体(四个面都是正三角形的三棱锥)的棱长为a，连接两个面的重心E，F，则线段EF的长为__________．答案：eq\f(1,3)a解析：如图所示，点E，F分别是它们所在面的重心，连结VE，VF并延长，分别交AB，BC于D，M，则D，M分别为AB，BC的中点，且DM＝eq\f(1,2)a，在△VDM中，EF＝eq\f(2,3)DM＝eq\f(1,3)a.三、解答题10．(12分)正三棱台的上、下底面边长及高分别为1,2,2，求它的斜高．解：如图所示，O1，O分别为上、下底面的中心，D1，D分别为A1B1和AB的中点，则O1D1＝eq\f(\r(3),6)，OD＝eq\f(\r(3),3)，OO1＝2.在直角梯形O1D1DO中，DD1＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋OD－O1D12)＝eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))2)＝eq\f(7\r(3),6)，即该正三棱台的斜高为eq\f(7\r(3),6).11．(13分)(1)如图甲所示为某几何体的展开图，沿图中虚线将展开图折起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图．(2)需要多少个(1)中的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体？请在(图乙)棱长为6cm的正方体ABCD－A1B1C解：(1)该几何体为有一条侧棱垂直于底面，且底面为正方形的四棱锥，其中垂直于底面的棱长为6cm，底面正方形的边长为6(2)需要3个(1)中的几何体，如图乙所示，分别为四棱锥A1－CDD1C1，A1－ABCD，A1－BCC1B1(答案不唯一能力提升12．(5分)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线．那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20B．15C．12D．10答案：D解析：在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．13．(15分)在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可能是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后