高中数学北师大版2第一章统计案例 第1章1

第一章§1第1课时1.下列两个变量之间是相关关系的是()A．匀速直线运动的距程与时间B．球的体积与半径C．角度与它的正弦值D．一个考生的数学成绩与物理成绩[答案]D[解析]相关关系不是确定的函数关系，这里A、B、C都是确定的函数关系．2．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的边长与面积C．正n边形的边数和它的所有内角之和D．人的年龄和身高[答案]D[解析]是否为函数关系主要取决于任给一个自变量的值是否有唯一确定的因变量的值与其对应，据此，A、B、C中都存在一个确定的函数关系，只有人的年龄与身高之间不存在函数关系．3．工人工资依劳动生产率变化的线性回归方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是()A．劳动生产率为1时，工资为80B．劳动生产率提高1时，工资提高80C．劳动生产率提高1时，工资提高130D．当月工资为250时，劳动生产率为2[答案]B[解析]利用线性回归方程的意义来解．回归直线斜率为80，所以x每增加1，y增加80，即劳动生产率提高1时，工资提高80.根据线性回归方程，相应于x＝1的估计值y＝130，故A错，应选B．4．(2023·湖北文，4)已知变量x和y满足关系y＝－＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关[答案]C[解析]因为变量x和y满足关系y＝－＋1，其中－<0，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k>0)，则将y＝－＋1代入即可得到：z＝k(－＋1)＋b＝－＋(k＋b)，所以－<0，所以x与z负相关，综上可知，应选C．5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有()A．a与r符号相同 B．a与r符号相反C．b与r符号相同 D．b与r符号相反[答案]C[解析]根据b与r的计算公式可知，b与r符号相同．6．对于相关关系r，下列说法正确的是()A．|r|越大，相关程度越小B．|r|越小，相关程度越大C．|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大D．|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小[答案]D[解析]|r|≤1，当|r|越接近于1，误差越小，变量之间的线性相关程度越高；|r|越接近于0，误差越大，变量之间的线性相关程度越低，故选D.二、填空题7．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法．[答案]相关[解析]回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法．8．已知x、y的取值如下表：x0134y若x、y具有线性相关关系，且回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋a，则a的值为________.[答案][解析]由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝，而回归方程过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，则＝×2＋a，∴a＝.三、解答题9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345(1)以工作年限为自变量，推销金额为因变量y，作出散点图；(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．[答案](1)散点图略(2)eq\o(y,\s\up6(^))＝＋(3)万元[解析](1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(10,20)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝，∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(3)由(2)可知，当x＝11时，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋＝×11＋＝(万元)．∴可以估计第6名推销员的年销售金额为万元．10．某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与水稻产量y(单位：t)的关系，所得的数据如下表：耕种深度x/cm81012141618每公顷产量y/t试求每公顷水稻产量和耕种深度的线性相关系数与线性回归方程．[答案]相关系数回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝＋[解析]将数据列成下表：ixiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi1864210100312144414196516256618324∑781084由此可得eq\x\to(x)＝eq\f(78,6)＝13，eq\x\to(y)＝eq\f,6)≈.进而可求得相关系数r≈，所以认为每公顷水稻产量y和耕种深度x有较强的线性相关程度．由计算公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈，故y对x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.11.对于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归分析中，如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关D．样本相关系数r∈(－1,1)[答案]D[解析]∵相关系数|r|≤1，∴D错．12．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))为，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．万元 B．万元C．万元 D．万元[答案]B[解析]此题必须明确回归直线方程过定点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．易求得eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝42，则将,42)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中得：42＝×＋eq\o(a,\s\up6(^))，即eq\o(a,\s\up6(^))＝，则eq\x\to(y)＝＋，所以当广告费用为6万元时销售额为×6＋＝万元．13．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg[答案]D[解析]本题考查线性回归方程．D项中身高为170cm时，体重“约为”，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．14．假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的，若10个学生初一和初二的数学期末考试分数如下(分别为x，y)：x74717268767367706574y76757170767965776272则初一和初二数学考试分数间的回归直线方程为()A．y＝2x＋ B．y＝2＋C．y＝2－ D．y＝2x－[答案]D[解析]由表中数据可得eq\x\to(x)＝71，eq\x\to(y)＝，因为回归直线一定经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，经验证只有D满足条件．二、填空题15．已知两个变量x和y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：x100120140160180y4554627592那么变量y关于x的回归方程是________.[答案]eq\o(y,\s\up6(^))＝－[解析]根据公式计算可得eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝－，所以回归直线方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－.16．某市居民2023～2023年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：年份20232023202320232023收入x1315支出Y1012根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是__________，家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．[答案]13正[解析]中位数的定义的考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．，r≈，正相关．三、解答题17．某5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：数学成绩x8876736663化学成绩y7865716461(1)画出散点图；(2)如果x、y呈线性相关关系，求y对x的线性回归方程．[答案](1)散点图略(2)eq\o(y,\s\up6(^)),\s\up6(^))＝＋.[解析](1)散点图如图：(2)eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝27174，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝23167，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝25054，∴eq\o(b,\s\up6(^)),\s\up6(^))＝eq\f(25054－5××,27174－5×≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝，所求回归方程为eq\o(y,\s\up6(^)),\s\up6(^))＝＋.18．(2023·重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20232023202320232023时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y关于t的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)用所求回归方程预测该地区2023年(t＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,t)\o\al(2,i)－n\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).[解析](1)列表计算如下itiyiteq\o\al(2,i)tiyi11515226412337921448163255102550∑153655120这里n＝5，eq\x\to(t)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,t)i＝eq\f(15,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(36,5)＝.又lnt＝eq\i\su(i＝1,n,t)i－neq\x\to(t)2＝55－5×32＝10，lny