2021-2022学年山东省德州市禹城莒镇中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年山东省德州市禹城莒镇中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（

）A.乙做对了 B.甲说对了 C.乙说对了 D.甲做对了参考答案：B【分析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项.【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾.故选：B.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.2.若点到点及的距离之和最小，则的值为

（

）A.

B.1

C.2

D.参考答案：A3.已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（） A．[，1] B．[0，] C．[，1] D．[0，1]参考答案：D【考点】直线和圆的方程的应用． 【专题】压轴题． 【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系， 直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围． 【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0）， 圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时， 它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A， 点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=， 当直线与x轴重合时，P（M）=1； 直线的斜率范围是[0，1]． 故选D． 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，几何概型，直线系，数形结合的数学思想，是好题，难度较大． 4.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的数学期望E（ξ）=8.9，则y的值为（）A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2参考答案：C【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x和y之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x和y的关系式，联立方程，解出要求的y的值．【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9解得y=0.4．故选：C．5.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔年计算机的价格降低，则年价格为元的计算机到年价格应为

A.元

B.元

C.元

D.元参考答案：C略6.观察式子：，…，则可归纳出式子为

（

）

A．

B．C．

D．参考答案：C略7.下面四个命题(1)比大

(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3)的充要条件为(4)如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确的命题个数是

（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略8.已知函数与的图像如图所示，则不等式

的解集是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知有极大值和极小值，则的取值范围为()A．

B．

C．

D．参考答案：D10.如图：抛物线的焦点为F，弦AB过F，原点为O，抛物线准线与x轴交于点C，，则等于（

）．A. B. C. D.参考答案：D【分析】先求出抛物线焦点和准线方程，从而得到点坐标，由，可得直线的方程，由的方程与抛物线的方程联立消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点与点的坐标，然后利用向量来求解.【详解】由抛物线可得：焦点坐标（1，0），准线方程为：；点坐标为（-1，0）；又弦过，；直线的斜率为1，方程为，又点与点抛物线上两方程联立，得到，解得：，；故点，点；，，由于，故；；故答案选D【点睛】本题考查抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查求根公式，最后利用向量的数量积求角的三角函数值是关键，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的通项公式，前项和为，则

参考答案：100612.观察（1）（2）.由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论：2.若，则；

.参考答案：113.设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是_____参考答案：(－∞，－2]∪[－1,3)14.函数y=的定义域是．参考答案：（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则x2﹣2x+4≥0，∵△=（﹣2）2﹣16＜0，∴不等式x2﹣2x+4≥0的解集为（﹣∞，+∞）．故答案为：（﹣∞，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．15.执行如图的程序框图，则输出的结果是．参考答案：【考点】程序框图．【专题】图表型；转化思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，s的值，当n=4时满足条件n≥4，退出循环，输出s的值，利用裂项法求和即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=0，s=0，n=1，s=，不满足条件n≥4，n=2，s=+，不满足条件n≥4，n=3，s=++，不满足条件n≥4，n=4，s=+++=（1）=，满足条件n≥4，退出循环，输出s的值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求和，属于基础题．16.在面积为S的正三角形ABC中，E是边AB上的动点，过点E作EF//BC，交AC于点F，当点E运动到离边BC的距离为高的时，的面积取得最大值为类比上面的结论，可得，在各条棱相等的体积为V的四面体ABCD中，E是棱AB上的动点，过点E作平面EFG//平面BCD，分别交AC、AD于点F、G，则四面体EFGB的体积的最大值等于

V。参考答案：C略17.在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比．将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为__________．参考答案：在平面中的角的内角平分线分面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥中，平面平分二面角且与交于，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，点E是的中点.(Ⅰ)求证：∥平面；(Ⅱ)求证：平面平面.

参考答案：（I）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以F为AC中点，又因为E为PC中点，所以EF是的中位线.所以EF//PA,而EF平面PAD内，PA平面PAD所以EF//平面PAD.

………6分（II）证明：连结PF，因为PA=PC,F为AC中点，所以PFAF因为平行四边形ABCD,所以四边形ABCD是菱形,所以AFBD,又因为BDPF=F,平面平面,所以AF平面PBD，而AF平面ADF所以平面ADF平面PBD.

………14分19.（本小题满分10分）已知：x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求证：a，b中至少有一个不小于0.参考答案：见解析假设a，b都小于0，即a<0，b<0，则a＋b<0.又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，这与假设所得a＋b<0矛盾，故假设不成立．∴a，b中至少有一个不小于0.20.(本小题满分12分)已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)当时，求函数f(x)的最大值与最小值及相应的值。参考答案：解：（1）

………3分

…………6分的最小正周期

…………7分（2）

…………8分

…………10分

…………12分略21.（15分）试用两种方法证明：（1）；（2）．参考答案：（1）证明：方法1：由令x=1，得．…（3分）方法2：数学归纳法：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k时，，则当n=k+1时，由，=+，=，所以，+++…+=+（）+（）+…+（）+=2（+…+=2?2k=2k+1，由①②，等式对于任意n∈N*恒成立．…（7分）（2）方法1：由于k=k=，n=n=，∴k=n，…（9分）所以，=n+n+…+n=n（++…+）=n2n﹣1．…（11分）方法2：由（1+x）n=1+x+x2+…+xn（n≥2，且n∈N*），两边求导，得n（1+x）n﹣1=1+2x+3?x2+…+nxn﹣1，…（14分）令x=1，得．…（15分）（1）方法1：在等式中，令x=1，可得成立．方法2：用数学归纳法进行证明．（2）方法1：根据组合数的计算公式可得k=n，所以，=n（++…+）=n2n﹣1．方法2：由（1+x）n=1+x+x2+…+xn（n≥2，且n∈N*），对等式两边求导，再令x=1，可得．22.某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250