高中数学人教A版1直线与圆的位置关系 学业分层测评6

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2­1­12所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有()图2­1­12A．1对 B．2对C．3对 D．4对【解析】由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】B2．如图2­1­13所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于()图2­1­13A．6 B．8C．4 D．5【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，由射影定理可知，CD2＝AD·BD，∴42＝8AD，∴AD＝2，∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10，∴圆O的半径为5.【答案】D3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2eq\r(3)，则此三角形外接圆半径为()【导学号：07370031】\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4【解析】由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4，故外接圆半径r＝eq\f(1,2)AB＝2.【答案】B4．如图2­1­14所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中点，E是的中点，分别连接BD，DE，BE，则△BDE的三内角的度数分别是()图2­1­14A．50°，30°，100° B．55°，20°，105°C．60°，10°，110° D．40°，20°，120°【解析】如图所示，连接AD.∵AB＝AC，D是的中点，∴AD过圆心O.∵∠A＝40°，∴∠BED＝∠BAD＝20°，∠CBD＝∠CAD＝20°.∵E是的中点，∴∠CBE＝eq\f(1,2)∠CBA＝35°，∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°，∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，故选B.【答案】B5．如图2­1­15，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于()图2­1­15A．4π B．8πC．12π D．16π【解析】连接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°.又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S⊙O＝π·42＝16π.【答案】D二、填空题6．如图2­1­16，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则eq\f(BD,AD)＝________.图2­1­16【解析】连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，∴eq\f(BC2,AC2)＝eq\f(BD,AD)，即eq\f(BD,AD)＝eq\f(16,9).【答案】eq\f(16,9)7．(2023·天津高考)如图2­1­17，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．图2­1­17【解析】如图，设圆心为O，连接OD，则OB＝OD.因为AB是圆的直径，BE＝2AE＝2，所以AE＝1，OB＝eq\f(3,2).又BD＝ED，∠B为△BOD与△BDE的公共底角，所以△BOD∽△BDE，所以eq\f(BO,BD)＝eq\f(BD,BE)，所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝eq\r(3).因为AE·BE＝CE·DE，所以CE＝eq\f(AE·BE,DE)＝eq\f(2\r(3),3).【答案】eq\f(2\r(3),3)8.如图2­1­18，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________.图2­1­18【解析】由于AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°，所以△APD是直角三角形，则sin∠APD＝eq\f(AD,AP)，cos∠APD＝eq\f(PD,AP)，由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP，所以△PCD∽△PBA.所以eq\f(PD,AP)＝eq\f(CD,AB)，又AB＝3，CD＝1，则eq\f(PD,AP)＝eq\f(1,3).∴cos∠APD＝eq\f(1,3).又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，∴sin∠APD＝eq\f(2\r(2),3).【答案】eq\f(2\r(2),3)三、解答题9．如图2­1­19所示，⊙O中和的中点分别为点E和点F，直线EF交AC于点P，交AB于点Q.求证：△APQ为等腰三角形．图2­1­19【证明】连接AF，AE.∵E是的中点，即＝，∴∠AFP＝∠EAQ，同理∠FAP＝∠AEQ.又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP，∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ为等腰三角形．10．如图2­1­20(1)所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．图2­1­20(1)求证：AB2＝AD·AE；(2)如图2­1­20(2)所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解】(1)证明：如图(3)，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图(4)，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．[能力提升]1．如图2­1­21，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么eq\f(CD,AB)等于()【导学号：07370032】图2­1­21A．sin∠BPDB．cos∠BPDC．tan∠BPDD．以上答案都不对【解析】连接BD，由BA是直径，知△ADB是直角三角形．由∠DCB＝∠DAB，∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB，eq\f(PD,PB)＝eq\f(CD,AB)＝cos∠BPD.【答案】B2．如图2­1­22所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝__________.图2­1­22【解析】连接CE，则∠AEC＝∠ABC，又△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠AEC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACE，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AE)，∴AE＝eq\f(AC2,AD)＝9.【答案】93．如图2­1­23，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是__________．图2­1­23【解析】由圆周角定理，得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，∴AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴周长等于9.【答案】94.如图2­1­24，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，AD交于点P.求证：图2­1­24(1)D是BC的中点；(2)△BEC∽△ADC；(3)AB·CE＝2DP·AD.【证明】(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC，因为AB＝AC，所以D是BC的中点．(2)因为AB是⊙O的直径，所以∠AEB＝∠ADB＝90°，即∠CEB＝∠CDA＝90°，因为∠C是公共角，所以△BEC∽△ADC.(3)因为△BEC∽△ADC，所以∠CBE＝∠CAD.因为AB＝AC，BD＝CD，所以∠BAD＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CBE，因为∠ADB＝∠BEC＝90°，所以△ABD∽△BCE，所以eq\