2021-2022学年北京漷县中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年北京漷县中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域为(

)A．(2,+∞)

B．(－1,2)∪(2,+∞)

C．(－1,2)

D．(－1,2]参考答案：C函数的定义域应满足故选C.

2.已知数列{}为等差数列，公差，为其前n项和.若，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质.D2答案B

解析：因为，所以，即，代入可解得=20，故选B。【思路点拨】先利用，解出，再利用等差数列的通项公式可求出。3.已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】正弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】点在线上，点的坐标适合方程，求出φ，然后确定函数取得最大值的x值就是对称轴方程，找出选项即可．【解答】解：把（0，1）代入函数表达式，知sinφ=因为|φ|＜

所以φ=当2x+=+2kπ（k∈Z）时函数取得最大值，解得对称轴方程x=+kπ（k∈Z）令k=0得故选C【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，是基础题．取得最值的x值都是正弦函数的对称轴．4.设x，y满足，则z=x+y（） A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 参考答案：B【考点】简单线性规划． 【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论． 【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示： 由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率， 因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值， 但z没有最大值． 故选B 【点评】目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案． 5.三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．5π B．π C．20π D．4π参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离；球．【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB=，PA=∴PB=，可得外接球半径R=PB=∴外接球的表面积S=4πR2=5π故选A．【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．6.已知p：0≤x≤1，q：＜1，则p是q的（） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件 D． 既非充分也非必要条件参考答案：考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题： 简易逻辑．分析： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答： 解：当x=0时，不等式＜1不成立，即充分性不成立，当x=﹣1时，满足＜1但0≤x≤1不成立，即必要性不成立，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．7.在△ABC中，已知AB=AC，∠B=30°，则∠A=(

)A．45° B．15° C．45°或135° D．15°或105°参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理可解得sinC，结合范围C∈（0，180°），可得C，利用三角形内角和定理即可求A的值．【解答】解：∵AB=AC，∠B=30°，∴由正弦定理，可得：sinC===，∴由C∈（0，180°），可得：C=45°，或135°．∴可得：A=180°﹣B﹣C=105°，或15°．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，正弦函数的图象和性质，属于基础题．8.已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）=1+i，则z2017=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】化简z，直接利用虚数单位i的运算性质化简得答案．【解答】解：∵z（1﹣i）=1+i，∴z===i，则z2017=i2017=i504×4+1=i，故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i的性质，是基础题．9.已知变量x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最大值为()A．12

B．11

C．3

D．－1参考答案：B略10.若函数的部分图像如右图所示，则的解析式可能是（

）．A. B.C. D.参考答案：A由可排除B、D，由可排除C，故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设变量、满足约束条件则目标函数的最大值为_______．

参考答案：12.已知函数的零点依次为则从大到小的顺序为_____________________参考答案：13.设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________.参考答案：略14.已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．参考答案：，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时，取得最小值，且，，故答案为.15.有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有

种．参考答案：36略16.已知，，，若向量满足，则的取值范围是__________．参考答案：易知，由得，所以或，由此可得的取值范围是.17.某班级的54名学生编号为：1，2，3，…，54，为了采集同学们的身高信息，先采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知样本中含有编号为5号、23号和41号的学生，则样本中剩余三名同学的编号分别为

．参考答案：14，32，50【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间距为9，即可得到结论．【解答】解：根据系统抽样的定义抽样间距为9，则6个样本编号从小到大构成以9为公差的等差数列，则样本中剩余三名同学的编号分别为14，32，50，故答案为：14，32，50三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）中，角所对的边分别为且．（I）求角的大小；（II）若向量，向量，，，求的值．参考答案：（I）∵∴，

∴，∴或∴

（II）∵∴，即又，∴，即②

由①②可得，∴

又∴，∴19.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意，恒有成立，求的取值范围．参考答案：解：（1）的定义域为.当时，，故在单调递增；当时，，故在单调递减；当时，令，解得即时，；时，；故在单调递增，在单调递减；（2）不妨设，而，由（1）知在单调递减，从而对任意，恒有令，则等价于在单调递减，即，从而，故的取值范围为略20.

已知函数（1）求函数的值域，并写出函数的单调递增区间；（2）若，且，计算的值.参考答案：【解】（1）………………2分由于，所以函数的值域为………4分

由得所以函数的单调的增区间为，………6分（文科不写，不扣分；不写区间，扣1分）（2）由（1）得，，即……………8分其中得………………10分所以……………11分………………13分………………14分

略21.已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形.(Ⅰ)求证：对任意的，是常数，并求数列的通项公式；(Ⅱ)问是否存在等腰直角三角形？请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）由题意得，，，∵点、、构成以为顶点的等腰三角形，∴，即得又∵，∴，

①

则

②由②－①得，，即是常数．即所列都是等差数列.（注：可以直接由图像得到,即

,()

）当为正奇数时，，当为正偶数时，由得，，故，∴．

（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形，由题意．在中，．

当为正奇数时，，，∴，故有，即，又∵，∴，∴，即，∴当时，使得三角形为等腰直角三角形．

当为正偶数时，，，∴，故有，即，又∵，∴，即，∴当时，使得三角形为等腰直角三角形．

综上所述，当时，使得三角形为等腰直角三角形．注：也可以回答为时，使得三角形为等腰直角三角形．22.已知函数f（x）=ex（x∈R）．（1）证明：曲线y=f（x）与曲线有唯一公共点；（2）设a＜b，比较与的大小，并说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设，求出导数，令h（x）=ex﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得h（x）的最小值，g（x）的单调性，再由g（0）=0，即可得证；（2）结论：．运用作差法，设m（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，求得导数，由基本不等式可得m（x）的单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）证明：设，g'（x）=ex﹣x﹣1，令h（x）=ex﹣x﹣1，h'（x）=ex﹣1，当x∈（﹣∞，1）时，h'（x）＜0，h（x