高中数学人教B版第一章解三角形 市获奖

第一章第2课时基础巩固一、选择题1．在△ABC中，b＝5，c＝5eq\r(3)，A＝30°，则a等于eq\x(导学号27542047)(A)A．5 B．4C．3 D．10[解析]由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝52＋(5eq\r(3))2－2×5×5eq\r(3)×cos30°，∴a2＝25，∴a＝5.2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于eq\x(导学号27542048)(C)A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)[解析]∵a2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)，又∵0<A<π，∴A＝eq\f(2π,3).3．(2023·全国卷Ⅰ文，4)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b＝eq\x(导学号27542049)(D)A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．3[解析]由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5.整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故选D．4．在△ABC中，a︰b︰c＝1︰1︰eq\r(3)，则cosC的值为eq\x(导学号27542050)(D)A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]设a＝b＝k，c＝eq\r(3)k(k>0)，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(k2＋k2－3k2,2k2)＝－eq\f(1,2)，故选D．5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝eq\x(导学号27542051)(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3)[解析]∵b2＝ac，且c＝2a得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－a×2a,2a·2a)＝eq\f(3,4).6．(2023·广东文，5)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)，且b＜c，则b＝eq\x(导学号27542052)(C)A．3 B．2eq\r(2)C．2 D．eq\r(3)[解析]由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，∴b＝2或b＝4.又∵b<c，∴b＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是锐角三角形．(填：锐角、直角、钝角)eq\x(导学号27542053)[解析]由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cosα＝eq\f(16＋25－36,2×4×5)＝eq\f(1,8)>0，因此0°<α<90°.8．若2、3、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为(eq\r(5)，eq\r(13)).eq\x(导学号27542054)[解析]长为3的边所对的角为锐角时，x2＋4－9>0，∴x>eq\r(5)，长为x的边所对的角为锐角时，4＋9－x2>0，∴x<eq\r(13)，∴eq\r(5)<x<eq\r(13).三、解答题9．在△ABC中，已知sinC＝eq\f(1,2)，a＝2eq\r(3)，b＝2，求边\x(导学号27542055)[解析]∵sinC＝eq\f(1,2)，且0<C<π，∴C为eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).当C＝eq\f(π,6)时，cosC＝eq\f(\r(3),2)，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.当C＝eq\f(5π,6)时，cosC＝－eq\f(\r(3),2)，此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2eq\r(7).10．设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为eq\r(2)，求cosA与a的值.eq\x(导学号27542056)[解析]由三角形面积公式，得S＝eq\f(1,2)×3×1·sinA＝eq\r(2)，∴sinA＝eq\f(2\r(2),3)，∵sin2A＋cos2A＝1.∴cosA＝±eq\r(1－sin2A)＝±eq\r(1－\f(8,9))＝±eq\f(1,3).①当cosA＝eq\f(1,3)时，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×eq\f(1,3)＝8，∴a＝2eq\r(2).②当cosA＝－eq\f(1,3)时，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋12－2×1×3×(－eq\f(1,3))＝12，∴a＝2eq\r(3).能力提升一、选择题1．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则AC边上的高为eq\x(导学号27542057)(B)A．eq\f(3\r(2),2) B．eq\f(3\r(3),2)C．eq\f(3,2) D．3eq\r(3)[解析]由余弦定理，可得cosA＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(42＋32－\r(13)2,2×3×4)＝eq\f(1,2)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2).则AC边上的高h＝ABsinA＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，故选B．2．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于eq\x(导学号27542058)(D)A．19 B．－14C．－18 D．－19[解析]在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，则cosB＝eq\f(49＋25－36,2×5×7)＝eq\f(19,35).又eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(π－B)＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB＝－7×5×eq\f(19,35)＝－19.3．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，则ab的值为eq\x(导学号27542059)(A)A．eq\f(4,3) B．8－4eq\r(3)C．1 D．eq\f(2,3)[解析]∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab.又∵∠C＝60°，由余弦定理，得cos60°＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，即a2＋b2－c2＝ab.∴4－2ab＝ab，则ab＝eq\f(4,3).4．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为eq\x(导学号27542060)(B)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)[解析]∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).二、填空题5．(2023·重庆文，13)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，则c＝\x(导学号27542061)[解析]∵3sinA＝2sinB，∴3a＝2b，又∵a＝2，∴b由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝22＋32－2×2×3×(－eq\f(1,4))＝16，∴c＝4.6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(8,3).eq\x(导学号27542062)[解析]由余弦定理，得BC2＝22＋12－2×2×1×(－eq\f(1,2))＝7，∴BC＝eq\r(7)，∴cosB＝eq\f(4＋7－1,2×2×\r(7))＝eq\f(5\r(7),14).∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2×eq\r(7)×eq\f(5\r(7),14)＋eq\f(\r(7),3)×eq\r(7)×1＝－eq\f(8,3).三、解答题7．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长.eq\x(导学号27542063)[解析]在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq\f(1,2)，即∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，于是AB＝eq\f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6).8．在△ABC中，已知lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq\r(2)，且B为锐角，试判断△ABC的形状.eq\x(导学号27542064)[解析]由lgsinB＝－lgeq\r(2)＝lgeq\f(\r(2),2)，可得sinB＝eq\f(\r(2),2).又B为锐角，所以B＝45°.由lga－lgc＝－lgeq\r(2)，得eq\f(a,c)＝eq\f(\r(2),2)，所以c＝eq\r(2)a.又因为b2＝a2＋c2－2accosB，所以b2＝a2＋2a2－2eq\r(2)a2×eq\f(\r(2),2)＝a2所以a＝b，即A＝B．又B＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形．9．已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos2eq\f(A,2)＋cosA＝\x(导学号27542065)(1)求角A