黑龙江省哈尔滨市白奎中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市白奎中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.展开式中系数最大的项为

（

）A.第4项

B.第5项

C.第7项

D.第8项参考答案：B略2.（5分）曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（） A．y=x+1 B． y=﹣2x+1 C． y=2x﹣1 D． y=2x+1参考答案：D3.设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1＞0，S4=S8，则当Sn取得最大值时，n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】设等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和的公式化简S4=S8，得到首项与公差的关系式，根据首项大于0得到公差d小于0，所以前n项和Sn是关于n的二次函数，由d小于0得到此二次函数为开口向下的抛物线，有最大值，则根据二次函数的对称性可知当n等于6时，Sn取得最大值．【解答】解：由S4=S8得：4a1+d=8a1+d，解得：a1=﹣d，又a1＞0，得到d＜0，所以Sn=na1+d=n2+（a1﹣）n，由d＜0，得到Sn是一个关于n的开口向下抛物线，且S4=S8，由二次函数的对称性可知，当n==6时，Sn取得最大值．故选B．4.已知数列的通项公式为，则当数列的前n项和取最小值时，项数n为（

）w.w.w.Gk

A.5

B.6

C.5或6

D.11参考答案：C略5.圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（）A．一个点 B．椭圆C．双曲线 D．以上选项都有可能参考答案：C【考点】轨迹方程．【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线故选：C．6.送快递的人可能在早上6:30—7:30之间把快递送到张老师家里,张老师离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,则张老师离开家前能得到快递的概率为（

）A．12.5%

B．50%

C．75%

D．87.5%参考答案：D7.抛物线图象上与其准线的距离为5的点的坐标为（

）

A．(4,±4)

B．(3，)

C．(2，)

D．(1，,±2)参考答案：A略8.已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形。根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是

（

）A．正方形的对角线相等

B．矩形的对角线相等

C．正方形是矩形

D．其它参考答案：C略9.三点（3，10），（7，20）,(11,24)的回归方程是A

y=5-17x

B

y=-17+5x

C

y=17+5x

D

y=17-5x参考答案：B10.设椭圆1(m>0，n>0)的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点相同，离心率为：则此椭圆的方程为(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点(－1，－1)处的切线方程为

.参考答案：略12.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，,则球O的表面积等于

.参考答案：13.已知复数，（i为虚数单位），若z1﹣z2为纯虚数，则实数a=

．参考答案：﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的加减运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵，，∴z1﹣z2=（a2﹣a﹣2）+（a2+a﹣6）i，由z1﹣z2为纯虚数，得，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．14.已知ABC的三边长为a，b，c，内切圆半径为r（用S△ABC表示△ABC的面积），则S△ABC=r（a+b+c）；类比这一结论有：若三棱锥A﹣BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA﹣BCD=

．参考答案：【分析】类比推理的运用，本题属于升维类比，面类比为体，线类比为面，点类比为线，三角形的内切圆可以类比为四面体的内切球．【解答】解：连接内切球球心与各切点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积．即三棱锥体积VA﹣BCD=故应填15.在△ABC中，若，则△ABC的形状是

参考答案：略16.已知双曲线（）的左顶点为，右焦点为，过左顶点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于点,若的面积为,则双曲线的离心率为

．参考答案：217.设,则二项式展开式中的项的系数为

参考答案：-160三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，连接AD，E是线段AD的中点．（1）求三棱锥E﹣BCD的体积；（2）判断直线CE与平面ABD是否垂直，并说明理由．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）设BC的中点为O，连AO、DO，可证AO⊥平面BCD，求得，又E为AD中点，可求E点到平面BCD的距离，由三角形面积公式求得△BDC的面积，利用三棱锥的体积公式即可计算得解．（2）由（1）可求，进而可求AD，由CA=CD，E为AD中点，可求CE，同理可求BE，进而通过BC2≠BE2+CE2，证明直线CE与平面ABD是不垂直．【解答】（本题满分为12分）解：（1）设BC的中点为O，连AO、DO．由AB=AC，则AO⊥BC，由平面ABC⊥平面BCD，BC是它们的交线知：AO⊥平面BCD，由已知得，…即A点到平面BCD的距离为，又E为AD中点，则E点到平面BCD的距离为，而△BDC的面积为，故．…（2）直线CE与平面ABD是不垂直．…理由如下：假设直线CE与平面ABD垂直，由（1）知∠AOD=90°，且，则，由CA=CD，E为AD中点，则，同理可得，若CE⊥平面ABD，BE?平面ABD，则CE⊥BE，应有BC2=BE2+CE2，而BC2=4，，则BC2≠BE2+CE2，这与假设矛盾，假设不成立．故直线CE与平面ABD是不垂直．

…19.已知抛物线过点．（1）求抛物线的方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线有公共点，且直线OA与l的距离为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案：略20.设命题p:实数x满足(x－a)(x－3a)＜0，其中a＞0，命题q:实数x满足.（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围.（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.参考答案：对于命题p:，其中，∴，则，.由，解得，即.

（6分）（1）若解得，若为真，则同时为真，即，解得，∴实数的取值范围

（9分）（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，∴，即，解得

（12分）21.给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．参考答案：解：对任意实数都有恒成立；关于的方程有实数根；如果正确，且不正确，有；如果正确，且不正确，有．

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所以实数的取值范围为略22.已知函数满足，其中，且.（1）求函数的解析式，并证明其单调性；（2）当时，恒成立，化简.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）先令，得到，根据函数相等，可求出的解析式；再分别讨论，两种情况，用导数的方法判断函数的单调性，即可得出的单调性；（2）先由（1）得到，求出的范围，即可化