黑龙江省哈尔滨市尚志中学2022年高三数学文联考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市尚志中学2022年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为，则判断框中的条件为

(

)A．

B.

C．

D.参考答案：C2.设，，若是和的等比中项，则的最小值为（

）A．

B．8

C．9

D．10参考答案：C因为，所以，当且仅当即时“=”成立，故选C考点：基本不等式；等比数列的性质．3.已知抛物线y2=4x上一动点M（x，y），定点N（0，1），则x+|MN|的最小值是（）A． B． C．﹣1 D．﹣1参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的焦点坐标为（1，0），M到准线的距离为d，则x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，即可得出结论．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（1，0），M到准线的距离为d，则x+|MN|=d+|MN|﹣1=|MF|+|MN|﹣1≥|NF|﹣1=﹣1，∴x+|MN|的最小值是﹣1．故选D．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线定义的运用，属于中档题．4.函数的图象的大致形状是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先由函数的零点排除B，D选项，再根据函数的单调性排除C选项，即可求出结果.【详解】令可得，，即函数仅有一个零点，所以排除B，D选项；又，所以由，可得，由得,即函数在上单调递增，在上单调递减，故排除C.5.设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为(

)A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：D知识点：简单线性规划解析：由题意作出其平面区域，则由目标函数的最大值为8，，则由得，≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．故选D．【思路点拨】由题意作出其平面区域，求出目标函数的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解．6.如图是一个算法程序框图，当输入的值为3时，输出的结果恰好是，则空白框处的关系式可以是

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略7.设双曲线﹣x2=1上的点P到点（0，）的距离为6，则P点到（0，﹣）的距离是（）A．2或10 B．10 C．2 D．4或8参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程为﹣x2=1，则其焦点的坐标为（0，）、（0，﹣），进而设焦点为F1、F2，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣x2=1，则其焦点的坐标为（0，）、（0，﹣），设F1（0，）、F2（0，﹣），由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即||PF2|﹣6|=4，解可得|PF2|=2或10，即P点到（0，﹣）的距离是2或10；故选：A．【点评】本题考查双曲线的定义，关键是由双曲线的标准方程得到焦点的坐标．8.一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A．6 B．8 C．8 D．12参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可．【解答】解：设棱柱的高为h，由左视图知，底面正三角形的高是，由正三角形的性质知，其边长是4，故底面三角形的面积是=4由于其体积为，故有h×=，得h=3由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×=故选A9.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln（x+2）

B.y=-

C.y=（）x

D.y=x+参考答案：A

函数y=ln（x+2）在区间（0，+∞）上为增函数；函数y=-在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=（）x在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=x+在区间（0，+∞）上为先减后增函数．故选A．

10.若函数上有零点，则m的取值范围为

（

）

A．

B．[-1，2]

C．

D．[1，3]参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以下四个命题中：

①为了解600名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为30；

②直线y=kx与圆恒有公共点；

③在某项测量中，测量结果服从正态分布N(2，)(>0)．若在(-∞，1)内取值的概率为0．15，则在(2，3)内取值的概率为0．7；

④若双曲线的渐近线方程为，则k=1．

其中正确命题的序号是

．参考答案：②12.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为

．（最后结果精确到整数位）

气温x181310－1用电量y2434·64

参考答案：3813.在中，点为边的中点，若，且，则__________．参考答案：解：∵是的中点，∴，又∵，∴，，∴．14.已知曲线C1的方程为，过平面上一点P1作C1的两条切线，切点分别为A1，B1，且满足.记P1的轨迹为C2，过平面上一点P2作C2的两条切线，切点分别为A2，B2，且满足.记P2的轨迹为C3，按上述规律一直进行下去，…，记，且Sn为数列{an}的前n项和，则满足的最小正整数n为

．参考答案：5由题设可知轨迹分别是半径为的圆.因为，所以，所以.由，得，故最小的正整数为.15.数列{an}满足an+1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为____________。参考答案：(I)由已知得：，，，再由正弦定理可得：，所以成等比数列.(II)若，则，∴，，∴△的面积.略16.已知向量、满足，则____________.参考答案：5略17.已知为球的直径，，是球面上两点且，.若球的表面积为，则棱锥的体积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围．参考答案：考点： 函数的单调性及单调区间．专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用．分析： 本题考察函数的单调性．（Ⅰ）先写出函数的定义域，然后求导数，分a=0，a＞0，a＜0，利用导数的符号讨论函数的单调性即可，（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的函数单调性，对a进行分类讨论，又x∈（1，2），分成a≤0，0＜2a≤1，1＜2a＜2，2a≥2四种情况进行讨论．解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x≠a}.．①当a=0时，f（x）=x（x≠0），f'（x）=1，则x∈（﹣∞，0），（0，+∞）时，f（x）为增函数；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，x＞2a或x＜0，由于此时0＜a＜2a，所以x＞2a时，f（x）为增函数，x＜0时，f（x）为增函数；由f'（x）＜0得，0＜x＜2a，考虑定义域，当0＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜2a时，f（x）为减函数；③当a＜0时，由f'（x）＞0得，x＞0或x＜2a，由于此时2a＜a＜0，所以当x＜2a时，f（x）为增函数，x＞0时，f（x）为增函数．由f'（x）＜0得，2a＜x＜0，考虑定义域，当2a＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜0时，f（x）为减函数．综上，当a=0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，0），（2a，+∞），单调减区间为（0，a），（a，2a）．当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，2a），（0，+∞），单调减区间为（2a，a），（a，0）．（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．②当0＜2a≤1时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（2a，+∞）单调增，即在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．③当1＜2a＜2时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）上不具有单调性，不合题意．④当2a≥2，即a≥1时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（0，a），（a，2a）为减函数，同时需注意a?（1，2），满足这样的条件时f（x）在（1，2）单调减，所以此时a=1或a≥2．综上所述，或a=1或a≥2．点评： 本题易忽略函数的定义域，在讨论函数的性质的题目中一定要先求出函数的定义域，在定义域内讨论；难点是分类讨论较复杂，要做到不重不漏，按照数轴从左向右讨论，还要注意特殊情况．19.在ΔABC中，三个内角，，的对边分别为，，，其中，且(1)求证：ΔABC是直角三角形；(2)设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，，用的三角函数表示三角形的面积，并求面积最大值.[来源:学,科,网Z,X,X,K]参考答案：(1)证明：由正弦定理得，………………2分整理为，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π,即A＝B或A＋B＝∵，∴A＝B舍去.由A＋B＝可知c＝，∴ΔABC是直角三角形

…………6分(2)由(1)及，得，

……………７分在RtΔ中，

所以，…………………9分，

……12分因为，所以，当，即时，最大值等于

……14分

20.已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（Ⅰ）若关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用关于x的不等式g（x）≥0的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}，建立方程组，即可求实数m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，求出左边的最小值，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为g（x）=﹣|x+3|+m≥0，所以|x+3|≤m，所以﹣m﹣3≤x≤m﹣3，由题意，所以m=2；

…（Ⅱ）若f（x）＞g（x）恒成立，所以|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，因为|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，当且仅当（x﹣2）（x+3）≤0时取等，所以m＜5．…．【点评】此题主要考查绝对值不等式的应用问题，有一定的灵活性，属于中档题．21.某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”，求从这16人中随机选取2人，至多有1人是“极幸福”的概率．参考答案：解：（1）由茎叶图知：众数为8.6；中位数为=8.75；（2）设A表示“2个人中至多有一个人‘很幸福’”这一事件由茎叶图知：幸福度不低于9.5分的有4人，∴从16人中随机抽取2人，所有可能的结果有=120个，其中事件A中的可能性有=114个，∴概率P（A）==．略22.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。参考答案：解法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC。在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD。（Ⅱ）设正方形边长a，则SD=。又OD=，所以SOD=60°，连OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以POD是二面角P-AC-D的平面角。由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以POD=30°，即二面角P-AC-D的大小为30°。（Ⅲ）在棱SC上存在一点E