黑龙江省哈尔滨市奔赛中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市奔赛中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是双曲线的左右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是的角平分线，过点作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则的长为（

）A.定值a B.定值bC.定值c D.不确定，随P点位置变化而变化参考答案：A【分析】先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PQ是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．【详解】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，∵PQ是∠F1PF2的角分线．TF1是PQ的垂线，∴PQ是TF1的中垂线，∴|PF1|＝|PT|，∵P为双曲线1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|TF2|＝2a，在三角形F1F2T中，QO是中位线，∴|OQ|＝a．

故选：A．【点睛】本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题，属于中档题．2.设a∈R，若（a﹣i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=(

) A．2 B．1 C．0 D．﹣1参考答案：B考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．解答： 解：∵（a﹣i）2i=（a2﹣1﹣2ai）i=2a+（a2﹣1）i为正实数，∴2a＞0，且（a2﹣1）=0，∴a=1，故选B．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．3.设命题p：{x||x|＞1}；命题q：{x|x2+2x–3＞0}，则是的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．即不充分也不必要条件参考答案：解析：由|x|＞1得p：A={x|x>1或x<-1},又由x2+2x–3＞0得q：B={x|x>1或x<-3}；显然B是A的真子集，故q是p的充分不必要条件，从而是的充分不必要条件，故应选A.4.已知抛物线的准线与双曲线相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是A. B. C. D.参考答案：D5.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（） A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0参考答案：B【考点】函数单调性的性质；二次函数的性质． 【专题】计算题． 【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求 【解答】解：∵函数是R上的增函数 设g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1） 由分段函数的性质可知，函数g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）=在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1） ∴ ∴ 解可得，﹣3≤a≤﹣2 故选B 【点评】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，主要分段函数的单调性应用中，不要漏掉g（1）≤h（1） 6.已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．（1，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由直角三角形的判定定理可得△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，运用双曲线的定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，运用离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，即有2c2﹣a2≤4a2，可得c≤a，由e=可得1＜e≤，故选：C．7.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点()A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A略8.已知a，b，cR，若，且，则下列结论成立的是（

）A．a，b，c同号

B．b，c同号，a与它们异号C．b，c同号，a不能确定

D．a，b，c的符号都不能确定参考答案：A9.若等边的边长为，平面内一点满足，则(

)A.

B.

C．

D．参考答案：C10.若x，y满足约束条件，则的取值范围是A.(－∞,2]

B.[2,3]

C.[3,+∞)

D.[2,+∞)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量夹角为

，且

；则___

___.参考答案：因为向量的夹角为，所以，所以，即，所以，解得。12.已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为_________．参考答案：13.已知，，则

.参考答案：14.若等比数列的各项均为正数,且,则

.参考答案：50

15.已知二次函数，不等式的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a，b]的长度为)，则实数m的值是_______.参考答案：【分析】根据题意的解集为，分析可得和是方程的两根，将二次函数根与系数的关系与相结合，可得的值．【详解】根据题意的解集为，则和是方程即的两根，则，，不等式的解集的区间长度为6，即，则有，解可得，故答案为．【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．16.（理）一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为

参考答案：(3!)417.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离

为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，,且（I）求锐角B的大小；

（II）如果，求的面积的最大值。参考答案：（1）

（2）三角形的面积最大值为19.（本小题满分12分）

设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn+=λ（λ为常数），令cn=b2n，（n∈N?）.求数列｛cn｝的前n项和Rn.

参考答案：：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，所以（2）由Tn+=λ可得，，Tn-1+=λ两式相减可得，当时，，所以当时，cn=b2n=，错位相减法可得，Rn=当时，cn=b2n=，可得Rn=20.已知函数f（x）=ex﹣ax，a＞0．（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最大值即可；（2）通过讨论x的范围，问题转化为，根据函数的单调性求出f（a）的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），f'（x）=ex﹣a，令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的单调递增区间是（lna，+∞）；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的单调递减区间是（﹣∞，lna），函数f（x）在x=lna处取极小值，…g'（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna，当0＜a＜1时，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上单调递增；当a＞1时，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上单调递减，所以a=1是函数g（a）在（0，+∞）上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g（a）max=g（1）=1…（2）当x≤0时，a＞0，ex﹣ax≥0恒成立，…当x＞0时，f（x）≥0，即ex﹣ax≥0，即…令，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x＞1时，h'（x）＞0，故h（x）的最小值为h（1）=e，所以a≤e，故实数a的取值范围是（0，e]…f（a）=ea﹣e2，a∈（0，e]，f'（a）=ea﹣2a，由上面可知ea﹣2a≥0恒成立，故f（a）在（0，e]上单调递增，所以f（0）=1＜f（a）≤f（e）=ee﹣e2，即f（a）的取值范围是（1，ee﹣e2]…21.设函数f(x)＝x2＋ax－lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求f(x)的极值；（Ⅱ）当a≥2时，讨论f(x)的单调性．参考答案：略22.为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值（单位：分贝）进行了50天的监测，得到如下统计表：噪音值（单位：分贝）[55,57](57,59](59,61](61,63](63,65](65,67]频数14122085

（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数（同一组的数据用该组组间的中点值作代表）.（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：（i）求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.（ii）学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X，求X的分布列和方差.参考答案：(1)61.8；(2)(i);(ii)答案见解析.试题分析：根据该统计表，同一组的数据用该组组间的中点值作代表，可求这天校园噪音值的样本平均数；（2）（i）由题意，“出现重度噪音污染”的概率为，“出