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文档简介
学业分层测评(建议用时:45分钟)学业达标]一、填空题1.已知随机变量ξ满足V(ξ)=eq\f(1,9),则ξ的标准差为________.【解析】eq\r(Vξ)=eq\r(\f(1,9))=eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)2.设随机变量ξ可能取值为0,1,且满足P(ξ=1)=eq\f(1,3),P(ξ=0)=eq\f(2,3),则V(ξ)=________.【解析】由题意可知,随机变量ξ服从两点分布,故V(ξ)=eq\f(1,3)×eq\f(2,3)=eq\f(2,9).【答案】eq\f(2,9)3.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ=0)=eq\f(1,5),E(ξ)=1,则V(ξ)=________.【导学号:29440059】【解析】设P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=y,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=\f(4,5),,x+2y=1,))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(3,5),,y=\f(1,5),))所以V(ξ)=(0-1)2×eq\f(1,5)+(1-1)×eq\f(3,5)+(2-1)2×eq\f(1,5)=eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)4.若ξ~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(1,3))),且η=2ξ+3,则V(ξ)=________,V(η)=________.【解析】∵ξ~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(1,3))),∴V(ξ)=4×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)=eq\f(8,9).V(η)=V(2ξ+3)=4V(ξ)=eq\f(32,9).【答案】eq\f(8,9)eq\f(32,9)5.(2023·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是________.【解析】法一:由题意可知每次试验不成功的概率为eq\f(1,4),成功的概率为eq\f(3,4),在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=eq\f(1,16),P(X=1)=Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)=eq\f(3,8),P(X=2)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2=eq\f(9,16).所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012Peq\f(1,16)eq\f(3,8)eq\f(9,16)则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)=0×eq\f(1,16)+1×eq\f(3,8)+2×eq\f(9,16)=eq\f(3,2).法二:此试验满足二项分布,其中p=eq\f(3,4),所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)=np=2×eq\f(3,4)=eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)6.随机变量ξ的分布列如下:ξ-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=eq\f(1,3),则V(ξ)=________.【导学号:29440060】【解析】由题意得2b=a+c①,a+b+c=1②,c-a=eq\f(1,3)③,以上三式联立解得a=eq\f(1,6),b=eq\f(1,3),c=eq\f(1,2),故V(ξ)=eq\f(5,9).【答案】eq\f(5,9)7.(2023·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=________时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为________.【解析】成功次数ξ~B(100,p),∴V(ξ)=100p(1-p)≤100×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(p+1-p,2)))2=25.当且仅当p=1-p,即p=eq\f(1,2)时,eq\r(Vξ)取得最大值eq\r(25)=5.【答案】eq\f(1,2)58.一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个答案选择正确得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率为,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________.【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的分数(成绩)为Y,则Y=4X.由题知X~B(25,,所以E(X)=25×=15,V(X)=25××=6,E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,V(Y)=V(4X)=42×V(X)=16×6=96,所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】60,96二、解答题9.设在15个同类型的零件中有2个是次品,每次任取1个,共取3次,设ξ表示取出次品的个数.(1)若取后不放回,求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ);(2)若取后再放回,求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ).【解】(1)由题意,得ξ~H(3,2,15),E(ξ)=eq\f(nM,N)=eq\f(3×2,15)=eq\f(2,5),V(ξ)=eq\f(nMN-nN-M,N2N-1)=eq\f(3×2×15-3×15-2,152×15-1)=eq\f(52,175).(2)由题意ξ~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(2,15))),E(ξ)=np=3×eq\f(2,15)=eq\f(2,5),V(ξ)=np(1-p)=3×eq\f(2,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,15)))=eq\f(26,75).10.(2023·淮安高二检测)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.(1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率;(2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的期望和方差.【解】(1)“有放回摸球”可看作独立重复试验,因为每摸出一球得白球的概率为p=eq\f(2,6)=eq\f(1,3).所以“有放回摸两次,颜色不同”的概率为Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))=eq\f(4,9).(2)设摸得白球的个数为ξ,依题意得:P(ξ=0)=eq\f(4,6)×eq\f(3,5)=eq\f(2,5),P(ξ=1)=eq\f(4,6)×eq\f(2,5)+eq\f(2,6)×eq\f(4,5)=eq\f(8,15),P(ξ=2)=eq\f(2,6)×eq\f(1,5)=eq\f(1,15),所以E(ξ)=0×eq\f(2,5)+1×eq\f(8,15)+2×eq\f(1,15)=eq\f(2,3),V(ξ)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0-\f(2,3)))2×eq\f(2,5)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,3)))2×eq\f(8,15)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2-\f(2,3)))2×eq\f(1,15)=eq\f(16,45).能力提升]1.若随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)=eq\f(1,3),P(ξ=n)=a,若E(ξ)=2,则V(ξ)的最小值等于________.【解析】由分布列中,概率和为1,则a+eq\f(1,3)=1,a=eq\f(2,3).∵E(ξ)=2,∴eq\f(m,3)+eq\f(2n,3)=2,∴m=6-2n.∴V(ξ)=eq\f(1,3)×(m-2)2+eq\f(2,3)×(n-2)2=eq\f(2,3)×(n-2)2+eq\f(1,3)×(6-2n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2.∴n=2时,V(ξ)取最小值0.【答案】02.有同寝室的四位同学分别每人写一张贺年卡,先集中起来,然后每人去拿一张,记自己拿自己写的贺年卡的人数为X,则X的方差是________.【解析】由条件,得X的概率分布列为:X0124Peq\f(9,24)eq\f(8,24)eq\f(6,24)eq\f(1,24)E(X)=0×eq\f(9,24)+1×eq\f(8,24)+2×eq\f(6,24)+4×eq\f(1,24)=1,V(X)=(0-1)2×eq\f(9,24)+(1-1)2×eq\f(8,24)+(2-1)2×eq\f(6,24)+(4-1)2×eq\f(1,24)=1.【答案】13.设非零常数d是等差数列x1,x2,x3,…,x19的公差,随机变量ξ等可能地取值x1,x2,x3,…,x19,则方差V(ξ)=________.【解析】E(ξ)=x10,V(ξ)=eq\f(d2,19)(92+82+…+12+02+12+…+92)=30d2.【答案】30d24.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图253所示.图253将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的概率分布,期望E(X)及方差V(X).【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”,因此P
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