高中数学苏教版3第二章概率【市一等奖】

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知随机变量ξ满足V(ξ)＝eq\f(1,9)，则ξ的标准差为________．【解析】eq\r(Vξ)＝eq\r(\f(1,9))＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)2．设随机变量ξ可能取值为0,1，且满足P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝0)＝eq\f(2,3)，则V(ξ)＝________.【解析】由题意可知，随机变量ξ服从两点分布，故V(ξ)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).【答案】eq\f(2,9)3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则V(ξ)＝________.【导学号：29440059】【解析】设P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝\f(4,5)，,x＋2y＝1，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝\f(1,5)，))所以V(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)4．若ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，且η＝2ξ＋3，则V(ξ)＝________，V(η)＝________.【解析】∵ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，∴V(ξ)＝4×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,9).V(η)＝V(2ξ＋3)＝4V(ξ)＝eq\f(32,9).【答案】eq\f(8,9)eq\f(32,9)5．(2023·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．【解析】法一：由题意可知每次试验不成功的概率为eq\f(1,4)，成功的概率为eq\f(3,4)，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16).所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012Peq\f(1,16)eq\f(3,8)eq\f(9,16)则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).法二：此试验满足二项分布，其中p＝eq\f(3,4)，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝np＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)6．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则V(ξ)＝________.【导学号：29440060】【解析】由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝eq\f(1,3)③，以上三式联立解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，故V(ξ)＝eq\f(5,9).【答案】eq\f(5,9)7．(2023·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．【解析】成功次数ξ～B(100，p)，∴V(ξ)＝100p(1－p)≤100×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2＝25.当且仅当p＝1－p，即p＝eq\f(1,2)时，eq\r(Vξ)取得最大值eq\r(25)＝5.【答案】eq\f(1,2)58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.由题知X～B(25,，所以E(X)＝25×＝15，V(X)＝25××＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，V(Y)＝V(4X)＝42×V(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】60,96二、解答题9．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，设ξ表示取出次品的个数．(1)若取后不放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)；(2)若取后再放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)．【解】(1)由题意，得ξ～H(3,2,15)，E(ξ)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(3×2,15)＝eq\f(2,5)，V(ξ)＝eq\f(nMN－nN－M,N2N－1)＝eq\f(3×2×15－3×15－2,152×15－1)＝eq\f(52,175).(2)由题意ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,15)))，E(ξ)＝np＝3×eq\f(2,15)＝eq\f(2,5)，V(ξ)＝np(1－p)＝3×eq\f(2,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,15)))＝eq\f(26,75).10．(2023·淮安高二检测)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．(1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．【解】(1)“有放回摸球”可看作独立重复试验，因为每摸出一球得白球的概率为p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,9).(2)设摸得白球的个数为ξ，依题意得：P(ξ＝0)＝eq\f(4,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(4,6)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,6)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，所以E(ξ)＝0×eq\f(2,5)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(2,3)，V(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))2×eq\f(2,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2×eq\f(8,15)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))2×eq\f(1,15)＝eq\f(16,45).能力提升]1．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则V(ξ)的最小值等于________．【解析】由分布列中，概率和为1，则a＋eq\f(1,3)＝1，a＝eq\f(2,3).∵E(ξ)＝2，∴eq\f(m,3)＋eq\f(2n,3)＝2，∴m＝6－2n.∴V(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝eq\f(2,3)×(n－2)2＋eq\f(1,3)×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2时，V(ξ)取最小值0.【答案】02．有同寝室的四位同学分别每人写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，则X的方差是________．【解析】由条件，得X的概率分布列为：X0124Peq\f(9,24)eq\f(8,24)eq\f(6,24)eq\f(1,24)E(X)＝0×eq\f(9,24)＋1×eq\f(8,24)＋2×eq\f(6,24)＋4×eq\f(1,24)＝1，V(X)＝(0－1)2×eq\f(9,24)＋(1－1)2×eq\f(8,24)＋(2－1)2×eq\f(6,24)＋(4－1)2×eq\f(1,24)＝1.【答案】13．设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差V(ξ)＝________.【解析】E(ξ)＝x10，V(ξ)＝eq\f(d2,19)(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d2.【答案】30d24．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2­5­3所示．图2­5­3将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的概率分布，期望E(X)及方差V(X)．【解】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P