《概率》全章节复习与巩固

II）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量是取值为：0，－1,1，因此所以X的分布列为则【变式3】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η，（1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ、Eη。【答案】（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0，，根据题意知ξ+η=3，所以。（2）因为ξ+η=3，所以类型三、条件概率【高清课堂：条件概率事件的相互独立性408736例题1】例3．5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题概率【思路点拨】本题考查古典概型、条件概率．（1）和（2）中利用解决，（3）利用条件概率公式解决．【解析】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB．（1）．（2）．（3）．【总结升华】（1）求条件概率的关键就是要抓住事件A作为条件和事件A与B同时发生这两件事，然后具体问题具体对待。（2）本题第（3）问可用下面的方法求解：用n（A）表示事件A中包含的基本事件个数，则n（A）=12，n（AB）=6，故．举一反三：【变式1】某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？【答案】用A表示“任选一人是女生”，B表示“任选一人来自北京”，依题意知北京的学生有8名女生，这是一个条件概率问题，即计算P（B｜A）．由于，，∴．【变式2】盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取1件，求：（1）取两次，两次都取得一等品的概率；（2）取两次，第二次取得一等品的概率；（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。【答案】事件Ai为“第i次取到一等品”，其中i=1，2，（1）取两次，两次都取得一等品的概率为；（2）取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也有可能取到二等品，可得；（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率，即。类型四、二项分布例4、某人参加射击，击中目标的概率是。①设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列；②设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；③若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列。【思路点拨】由已知，某人射击6次相当于6次独立重复试验，他射击6次击中目标的次数ξ满足，，因此，随机变量ξ服从二项分布；第一次击中目标时所需要射击的次数η满足，因此η服从几何分布。【解析】①随机变量服从二项分布，而的取值为0,1,2,3,4,5,6，则故的分布列为：0123456P②设表示他前次未击中目标，而在第次射击时击中目标，则的取值为全体正整数1,2,3,…则的分布列为1234……P……③的取值为1,2,3,4,5,6，表示前次未击中，而第次击中，∴，；而表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中∴∴的分布列为：123456P【总结升华】求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.举一反三：【变式1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.【解析】η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.（1）随机变量ξ取值为0，1，2P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ012P（2）随机变量η取值为0，1，2，3P(η=k)=C·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），所以η的分布列如下，η0123PC0.83C0.82·0.2C0.8·0.22C0.23【变式2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．【解析】（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则互斥，且，故于是．解得；（2）的可能取值为．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故，，．所以的分布列为012【变式3】某运动员射击一次所得环数的分布如下：6789100现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(=1\*ROMANI)求该运动员两次都命中7环的概率；(=2\*ROMANII)求的分布列；【解析】(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；(Ⅱ)的可能取值为7、8、9、10；分布列为：78910P0.040.210.390.36类型五、正态分布例5.如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．【思路点拨】由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x=20，最大值为，因此，μ=20，由可求得的值．【解析】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值是，所以μ=20．由，解得．于是概率密度函数的解析式是，x∈（－∞，+∞）．总体随机变量的期望是μ=20，方差是．【总结升华】利用图像求正态密度函数的解析式，应抓住图像的实质性两点：一是对称轴x=μ，一是最值．这两点确定以后，相应参数纵、便