湖南省衡阳市祁东县太和堂中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省衡阳市祁东县太和堂中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角；单位向量．【专题】计算题．【分析】设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得?=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（+）2=2+2?+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2?+1=1=1，所以?=﹣根据向量数量积的定义，得||?||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题．2.设a=dx，则二项式（x2﹣）5的展开式中x的系数为（）A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80参考答案：D【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出定积分a的值，再利用二项展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可计算结果．【解答】解：∵a=dx=lnx=lne2﹣ln1=2﹣0=2，∴（x2﹣）5=（x2﹣）5的展开式的通项公式为：Tr+1=?x2（5﹣r）?=?（﹣2）r?x10﹣3r，令10﹣3r=1，解得r=3，∴（x2﹣）5的展开式中含x项的系数为?（﹣2）3=﹣80．故选：D．3.已知函数，若f(x))在R上既有最大值又有最小值，且最大值与最小值的和为4，则3b-2a=Ａ．

6

Ｂ．4

Ｃ．5

Ｄ．3

参考答案：A4.双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 参考答案：C略5.函数满足，则的所有可能值为（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：D

考点：1.分段函数的表示与求值；2.余弦函数的性质.6.已知=(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜3 B．a＜0或a≥3 C．a＜0或a＞3 D．a≤0或a≥3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即存在x∈R，使“ax2﹣2ax+3≤0，分类讨论即可．【解答】解：命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即存在x∈R，使“ax2﹣2ax+3≤0，当a=0时，不符合题意；当a＜0时，符合题意；当a＞0时，△=4a2﹣12a≥0?a≥3，综上：实数a的取值范围是：a＜0或a≥3．故选：B【点评】本题考查了命题的真假的应用，转化是关键，属于基础题．8.已知函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．（0，2] B．（0，] C．[，1] D．[，]参考答案：C【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用积化和差公式化简2sinφcos（ωx+φ）=sin（ωx+2φ）﹣sinωx．可将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，在（π，）上单调递减，结合三角函数的图象和性质，建立关系可求ω的取值范围．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．化简可得：f（x）=sin（ωx+2φ）﹣sin（ωx+2φ）+sinωx=sinωx，由+，（k∈Z）上单调递减，得：+，∴函数f（x）的单调减区间为：[，]，（k∈Z）．∵在（π，）上单调递减，可得：∵ω＞0，ω≤1．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．9.设a，b是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|参考答案：C

利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．10.四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（）A.3 B.2 C.1 D.参考答案：C【分析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，可得PA的值.【详解】解：连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得，可得，解得PA=1,故选C.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数，给出下列函数：①；②；③；④．其中为恒均变函数的序号是__________．（写出所有满足条件的函数的序号）参考答案：①②解：①，，．符合要求．②，，．符合要求．③，，．不符合要求．④，．不符合要求．综上所述，符合要求有①②．12.已知数列的前项和（），则的值是__________．参考答案：1513.一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是

cm3。参考答案：14.平面向量的夹角为，，则____________．参考答案：略15.已知、是实系数一元二次方程的两虚根，，且，则的取值范围为

______

（用区间表示）。参考答案：16.如果执行如图所示的程序框图，输入，，则输出的数S＝_______．参考答案：略17.．双曲线的渐近线方程为______；离心率为______．参考答案：，；

由双曲线的标准方程可知，，所以，。所以双曲线的渐近线方程为，离心率。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在极坐标系中，曲线C的方程为，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的参数方程；（2）在直角坐标系中，点M（x，y）是曲线C上一动点，求x+y的最大值，并求此时点M的直角坐标．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先求出C的直角坐标方程，再求曲线C的参数方程；（2）利用C的参数方程，结合三角函数知识，求x+y的最大值，并求此时点M的直角坐标．【解答】解：（1）由曲线C的方程为，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ﹣6，即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．即曲线C是以点为圆心（2，2），以为半径的圆，则圆的参数方程为（θ为参数）．（2）x+y=4+cosθ+sinθ=4+2sin（θ+）．于是当θ=时，（x+y）max=4+2=6，此时，即M（3，3）．19.（本题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知，（1）求的大小；（2）若，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，从而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）

∴（，又，∴，从而的取值范围是.．．．．．．．．．．12分法二：由正弦定理得：.∴，，.∵，∴，20.（本题满分13分）已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，求的值；（3）直线交椭圆于两不同点，在轴的射影分别为，，若点满足，证明：点在椭圆上．参考答案：（1）由抛物线的焦点在圆上得：，，∴抛物线

…………2分同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上可解得：．得椭圆．

…………4分（2）设直线的方程为，则．联立方程组，消去得：且

…………5分由得：整理得：．…………8分（3）设，则由得；①

；②；③

…………11分由①+②+③得∴满足椭圆的方程，命题得证．………13分21.某机构为了了解2017年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2017年全年网购消费金额(单位:千元)进行了统计，所统计的金额均在区间[0,30]内，并按分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值;(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷.结合图表数据，补全2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为样本数据中的网购迷与性别有关系?说明理由.

男女合计网购迷

20

非网购迷45

合计

(3)己知所有网购迷中使用甲软件支付的用户占了(非网购迷不使用甲软件)，现要从甲软件用户中随机抽取2人进行调查，问恰好抽到1男1女的概率为多少?下面的临界值表仅供参考:0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828

附：参考答案：(1),解之得:(2)

男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100∴没有99%的把握认为样本数据中的网购迷与性別有关(3)使用甲软件的7人中有3男4女

∴22.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－.参考答案：(1)由条件知2f(x)≥g(x)，即2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋.

……2分设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，h′(x)＝.

………………4分当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)]min＝4.

故实数a的取值范围是(－∞，4]．…………6分(2)