高中数学北师大版3第三章统计案例（全国一等奖）

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．有两个分类变量X与Y的一组数据，由其列联表计算得χ2≈，则认为“X与Y有关系”犯错误的概率为()A．95% B．90%C．5% D．10%【解析】χ2≈＞.这表明认为“X与Y有关系”是错误的可能性约为，即认为“X与Y有关系”犯错误的概率为5%.【答案】C2．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是()A．男、女患色盲的频率分别为,B．男、女患色盲的概率分别为eq\f(19,240)，eq\f(3,260)C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的D．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关【解析】男人中患色盲的比例为eq\f(38,480)，要比女人中患色盲的比例eq\f(6,520)大，其差值为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(38,480)－\f(6,520)))≈6，差值较大．【答案】C3．为了探究生的学习成绩是否与学习时间长短有关，在调查的500名学习时间较长的生中有39名学习成绩比较好，500名学习时间较短的生中有6名学习成绩比较好，那么你认为生的学习成绩与学习时间长短有关的把握为()A．0 B．95%C．99% D．都不正确【解析】计算出χ2与两个临界值比较，χ2＝eq\f(1000×39×494－6×4612,45×955×500×500)≈3＞.所以有99%的把握说生的学习成绩与学习时间长短有关，故选C.【答案】C4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．()【导学号：62690057】A．% B．%C．99% D．%【解析】可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表糖尿病发病糖尿病不发病总计阳性家族史1693109阴性家族史17240257总计33333366根据列联表中的数据，得到χ2＝eq\f(366×16×240－17×932,109×257×33×333)≈＞.故我们有%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．【答案】D5．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各组数据中，对于同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为()A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4【解析】比较eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d))).选项A中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,9)－\f(3,5)))＝eq\f(2,45)；选项B中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)－\f(4,6)))＝eq\f(1,24)；选项C中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(4,9)))＝eq\f(2,45)；选项D中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(5,9)))＝eq\f(7,45).故选D.【答案】D二、填空题6．调查者通过随机询问72名男女生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)性别与喜欢文科还是理科列联表喜欢文科喜欢理科总计男生82836女生201636总计284472生的性别和喜欢文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”)【解析】通过计算χ2＝eq\f(72×16×8－28×202,36×36×44×28)≈＞.故我们有%的把握认为生的性别和喜欢文科还是理科有关系．【答案】有7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈，因为χ2≥，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．【解析】∵χ2＞，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.【答案】5%8．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若统计量χ2>，则在犯错误的概率不超过的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)【解析】统计量χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③三、解答题9．在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞行航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？【解】根据题意，列出2×2列联表如下：晕机不晕机总计男乘客243155女乘客82634总计325789由公式可得χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈＞，故我们有90%的把握认为“在天气恶劣的飞行航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．10．(2023·郑州模拟)有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为eq\f(2,7).(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(χ2≥x0)x0【解】(1)优秀非优秀总计甲班104555乙班203050总计3075105(2)根据列联表中的数据，得到χ2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈＞，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)．所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个．事件A包含的基本事件有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8个，∴P(A)＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).能力提升]1．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：性别硕士博士总计男16227189女1438151总计30535340根据以上数据，则()A．性别与获取学位类别有关B．性别与获取学位类别无关C．性别决定获取学位的类别D．以上都是错误的【解析】由列联表可得χ2＝eq\f(340162×8－143×272,305×35×189×151)≈>，所以有99%的把握认为性别与获取学位的类别有关．【答案】A2．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：认为作业量大认为作业量不大总计男生18927女生81523总计262450若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过()A． B．C． D．【解析】χ2＝eq\f(50×18×15－8×92,26×24×27×23)≈＞，因为P(χ2＞＝，所以这种推断犯错误的概率不超过.【答案】B3．某研究小组为了研究生的身体发育情况，在某随机抽出20名15至16周岁的男生将他们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表中的数据，可以在犯错误的概率不超过________的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.超重不超重总计偏高415不偏高31215总计71320【解析】根据公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，χ2＝eq\f(20×4×12－1×32,5×15×7×13)≈，因为χ2>，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．【答案】4．(2023·延安二检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图3­2­1为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.图3­2­1(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班乙班总计优秀不优秀总计下面临界表有仅供参考：P(χ2≥x0)x0(参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d))【解】(1)记成绩为87分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C，D，E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，