高中数学北师大版第二章函数单元测试 学业分层测评5

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出如图2­2­8所示的对应：图2­2­8其中构成从A到B的映射的个数为()A．3 B．4C．5 D．6【解析】由映射的定义可知，构成从A到B的映射有①②③.【答案】A2．(2023·西安高一检测)设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，则图2­2­9中，能表示P到Q的映射的是()图2­2­9A．(1)(2)(3)(4) B．(1)(3)(4)C．(1)(4) D．(3)【解析】如图(1)，对于P中的每个元素x在Q中都有唯一的像，所以它是P到Q的映射；在图(2)中，当P中元素x取(0,1]的值时，在Q中对应的元素不唯一，所以(2)不是映射；在图(3)中，当P的元素取(1,2]的值时，Q中没有元素与它对应，所以(3)不是P到Q的映射；与(1)相同，(4)也是P到Q的映射．【答案】C3．下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是()A．f：x→x2－x B．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→x2＋1 D．f：x→x2－1【解析】因为12－1＝0,22－1＝3,32－1＝8,42－1＝15,52－1＝24.故从集合A到集合B的映射的对应关系为f：x→x2－1.【答案】D4．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f下的像是()A．3 B．4C．5 D．6【解析】由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝1，,10a＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2.))∴f：x→y＝x－2，∴5在f下的像是5－2＝3.【答案】A5．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是()A．4 B．5C．6 D．7【解析】对应关系是f：a→|a|.因此，3和－3对应的像是3；－2和2对应的像是2；1和－1对应的像是1；4对应的像是4.所以B＝{1,2,3,4}．故选A.【答案】A二、填空题6．设M＝N＝R，f：x→－x2＋2x是M到N的映射，若对于N中元素p，在M中恰有一个原像，则p的值为________．【解析】由题意知，关于x的方程－x2＋2x＝p有两相等实根，∴Δ＝4－4p＝0，p＝1.【答案】17．下列对应f是从集合A到集合B的函数的是________．①A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；②A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1；③A＝{高一一班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系f；每个男生对应自己的身高．【解析】对于①，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B的函数．同理，对于②，对应f也是集合A到集合B的函数．对于③，集合A，B不是数集，不是函数关系．【答案】①②8．已知集合A＝B＝R，映射f：x→x2＋2x－4，若a在B中且在A中没有原像，则a的取值范围是________．【解析】∵x2＋2x－4＝(x＋1)2－5≥－5.∵a在B中且在A中没有原像，则a<－5.【答案】(－∞，－5)三、解答题9．设集合P＝Q＝{(x，y)|x，y∈R}，从集合P到集合Q的映射为f：(x，y)→(x＋y，xy)，求(1)集合Q中与集合P中元素(3,2)对应的元素；(2)集合P中与集合Q中元素(3,2)对应的元素．【解】(1)由3＋2＝5,3×2＝6，故与集合P中元素对应的元素为(5,6)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.))故与集合Q中元素(3,2)对应的元素为(1,2)或(2,1)．10．下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x＋1)；(2)A＝{0,1,2,9}，B＝{0,1,4,9,64}，f：a→b＝(a－1)2.(3)A＝[0，＋∞)，B＝R，f：x→y2＝x；(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．【解】(1)当x＝－1时，y的值不存在；∴不是映射，更不是函数．(2)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数．(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．(4)是映射，但不是函数，因为A、B不是数集．[能力提升]1．设集合A与集合B都是自然数集N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中为元素n2＋n，则在映射f下，像20的原像是()A．2 B．3C．4 D．4或－5【解析】令n2＋n＝20，即n2＋n－20＝0，解得n＝－5或4.∵n∈N，∴n＝4.【答案】C2．集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数有()A．2个 B．3个C．5个 D．8个【解析】由f(a)，f(b)∈{－1,0,1}，且f(a)＋f(b)＝0知，这样的映射有：共3个．【答案】B3．给定映射f(x，y)→(eq\r(x)，x＋y)，在对应关系f下像(2,3)的原像是(a，b)，则函数y＝ax2＋bx的顶点坐标是________．【解析】由题意a＝4，b＝－1，则y＝4x2－x的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(1,16))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(1,16)))4．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．(1)求B中元素(3，－4)在A中的原像；(2)试探索B中哪些元素在A中存在原像；(3)求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系式.【导学号：04100023】【解】(1)设(x，y)是B中元素(3，－4)在A中的原像，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xy＝3，,x－y＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1.))所以(3，－4)在A中的原像有两个，即(－1,3)和(－3,1)．(2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xy＝a，,x－y＝b