湖南省怀化市北斗溪中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

湖南省怀化市北斗溪中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数与(且)在同一直角坐标系下的图象可能是参考答案：D略2.一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+4 B． C．2π+4 D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，代入锥体和柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，四棱锥的底面面积为：2×2=4，高为1，故体积为：，圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：2π，故组合体的体积V=，故选：D3.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成7:5的两段，则此双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：5.已知定义在R上的函数是偶函数，对时，的值为（

）

A．2

B．－2

C．4

D．－4参考答案：B6.过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：A略7.设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，|OP|=3b（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义与余弦定理可得到a2与c2的关系，从而可求得该双曲线的离心率．【解答】解：设该双曲线的离心率为e，依题意，||PF1|﹣|PF2||=2a，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|=4a2，不妨设|PF1|2+|PF2|2=x，|PF1|?|PF2|=y，上式为：x﹣2y=4a2，①∵∠F1PF2=60°，∴在△F1PF2中，由余弦定理得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|?cos60°=4c2，②即x﹣y=4c2，②又|OP|=3b，+=2，∴2+2+2||?||?cos60°=4||2=36b2，即|PF1|2+|PF2|2+|PF1|?|PF2|=36b2，即x+y=36b2，③由②+③得：2x=4c2+36b2，①+③×2得：3x=4a2+72b2，于是有12c2+108b2=8a2+144b2，∴=，∴e==．故选：D．8.已知等差数列中，,则的值是（

）A．15

B．30

C．31

D．64参考答案：A略9.已知，，，则(

)A．

C．

D.参考答案：【答案】B【解析】由，，，易知B正确.10.设，则数列的前2015项的和=

A.0

B.2014

C.2015

D.2016参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是． 参考答案：,+1+.【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积和体积． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥， 其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2， 边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高． 于是此几何体的体积V=S△ABCPO=×2×1×=， 几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+． 故答案为：，+1+． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 12.如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点、、满足，，为的中点，，则的值为____________参考答案：13.若f（x）=2x+a?2﹣x为奇函数，则a=

．参考答案：-1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，对其变形可得（a+1）（2x+2﹣x）=0恒成立，分析可得必有a+1=0，即可得答案．【解答】解：对于f（x）=2x+a?2﹣x，易得其定义域为R，关于原点对称，若f（x）=2x+a?2﹣x为奇函数，则必有f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，即2﹣x+a?2x=﹣（2x+a?2﹣x）恒成立，变形可得（a+1）（2x+2﹣x）=0恒成立，则必有a+1=0，即a=﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，注意奇偶性针对定义域中任意的变量，即f（﹣x）=﹣f（x）或f（﹣x）=f（x）在定义域中恒成立．14.在等比数列中，，，令，则取最大值时，的所有可能的取值应该是

。参考答案：3和515.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，则∠C的大小为

．参考答案：∵∴根据正弦定理可得∵∴，即∵∴故答案为.

16.若函数,当，时有恒成立，则a的取值范围是

.

参考答案：(2,3]由恒成立，得函数是增函数，∴，解得．故答案为．

17.已知函数,则的值为__________.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．参考答案：考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式．专题：计算题．分析：（1）根据an=Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1=1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．解答：解：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立∴（n≥2）②①﹣②得2an=an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1=（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1=1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1，∴an=n．（n∈N*）（2）解：由（1）可知∵∴点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，考查放缩法．从而综合考查了学生分析问题的能力．19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(1,2).（1）求抛物线C的方程；（2）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，.求证:直线AB的斜率为定值.参考答案：（1）依题意，设抛物线的方程为．由抛物线且经过点，得，所以抛物线的方程为．…………4分（2）因为，所以，所以，所以直线与的倾斜角互补，所以．………6分依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，将其代入抛物线的方程，整理得．设，则，，所以．………………8分以替换点坐标中的，得．………………10分所以．所以直线的斜率为．…12分20.（12分）已知函数是的一个极值点.（1）若是的唯一极值点，求实数a的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）若存在正数，使得，求实数a的取值范围.参考答案：（1），

是极值点，故，

是唯一的极值点恒成立或恒成立由恒成立得，又

由恒成立得，而不存在最小值，不可能恒成立.

………………4分（2）由（1）知，当时，，；

，

.在递减，在上递增.当时，，；，；

，.在、上递增，在上递减。当时，在、上递增，在递减。时，在上递增.

………………8分（3）当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，由（2）知需或，当时，，而，故存在使得，这样时的值域为从而可知满足题意当时，得或者解得；当时，可得满足题意.的取值范围或.

………………12分

21.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)若为曲线，的公共点，求直线的斜率；(Ⅱ)若分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求的面积.参考答案：（Ⅰ）消去参数得曲线的普通方程.……（1）

…………1分

将曲线化为直角坐标方程得.……（2）……3分

由得，即为直线的方程，故直线的斜率为.………5分

注：也可先解出…1分，再求的斜率为.

…1分

（Ⅱ）由知曲线是以为圆心，半径为1的圆；由知曲线是以为圆心，半径为2的圆.

…………6分

因为，所以当取最大值时，圆心在直线上，

所以直线（即直线）的方程为：.………7分

因为到直线的距离为，

…………8分

又此时，

…………9分

所以的面积为.……10分22.（本题满分13分）已知椭圆：的离心率为，右焦点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证：为定值．参考答案：（Ⅰ）由题意得，，……………2分所以，，所求椭圆方程为．

…