高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试2

第二章综合检测(基础卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列表述正确的是eq\x(导学号10510649)()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤[答案]D[解析]由推理的特征知，归纳推理是由特殊到一般的推理，所以②不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理．2．设eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则在①a2>b2；②a＋b>2eq\r(ab)；③ab<b2；④a2＋b2>|a|＋|b|.这4个不等式中恒成立的有eq\x(导学号10510650)()A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案]B[解析]∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴0>a>b，∴a2<b2，ab<b2，②④显然不正确．3．欲证eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需证eq\x(导学号10510651)()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2 B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2 D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2[答案]C[解析]∵eq\r(2)－eq\r(3)<0，eq\r(6)－eq\r(7)<0，∴原不等式只需证eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)，∴只需证(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2，故选C.4．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有eq\x(导学号10510652)()A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案]B[解析]只有②正确，故选B.5．k(k≥3，k∈N＋)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为eq\x(导学号10510653)()A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2[答案]A[解析]三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．故选A.6．观察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，则可归纳出1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)小于eq\x(导学号10510654)()\f(n,n＋1) B．eq\f(2n－1,n＋1)\f(2n＋1,n＋1) \f(2n,n＋1)[答案]C[解析]所猜测的分式的分母为n＋1，而分子3,5,7…恰好是第n＋1个正奇数，即2n＋1.故选C.7．(2023·北京文，8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位：米)30秒跳绳(单位：次)63a7560637270a－1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则eq\x(导学号05300655)()A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛[答案]B[解析]由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.8．已知a，b，c，d∈R，则P＝ac＋bd，Q＝eq\r(a2＋b2c2＋d2)的大小关系为eq\x(导学号10510656)()A．P≥Q B．P>QC．Q>P D．Q≥P[答案]D[解析]Q2＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2≥(ac＋bd)2＝P2，又∵Q≥0，∴Q≥P.9．定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：eq\x(导学号10510657)()(i)1*1=1，(ii)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于 ＋1C．n－1 D．n2[答案]A[解析]令an＝n*1，则由(ii)得，an＋1＝an＋1，由(i)得，a1＝1，∴{an}是首项a1＝1，公差为1的等差数列，∴an＝n，即n*1＝n，故选A.10．设a，b∈R，那么“a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的eq\x(导学号10510658)()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]∵a2＋b2<1，∴|a|<1，|b|<1，∴ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0成立．反之，(a－1)·(b－1)>0，推不出a2＋b2<1.故“a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的充分不必要条件11．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为eq\x(导学号10510659)()A．7,6,1,4 B．6,4,1,7C．4,6,1,7 D．1,6,4,7[答案]B[解析]本题中首先弄清加密的规则，再求明文．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝14，,2b＋c＝9，,2c＋3d＝23，,4d＝28，))可求得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝4，,c＝1，,d＝7.))故选B.12．(2023·浙江文，5)已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1，则eq\x(导学号10510660)()A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0[答案]D[解析]根据题意，logab>1⇔logab－logaa>0⇔logaeq\f(b,a)>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,0<\f(b,a)<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,\f(b,a)>1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,0<b<a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,b>a)).当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,0<b<a))时，0<b<a<1，∴b－1<0，b－a<0；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,b>a))时，b>a>1，∴b－1>0，b－a>0.∴(b－1)(b－a)>0，故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a＝________，b＝________，\x(导学号10510661)[答案]eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)[解析]令n＝1、2、3，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－b＋c＝1，,92a－b＋c＝7，,273a－b＋c＝34.))所以a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4).14．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)(n∈N*)，可以猜测数列通项an的表达式为\x(导学号10510662)[答案]an＝eq\f(2,6n－5)[解析]由a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19)，a5＝eq\f(2,25)，…，猜想an＝eq\f(2,6n－5).15．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为eq\f(a2,4)，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为\x(导学号10510663)[答案]eq\f(a3,8)[解析]通过类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为eq\f(a3,8).16．(2023·洛阳高二检测)观察下列等式：eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＝1－eq\f(1,3×22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)＝1－eq\f(1,4×23)，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋…＋eq\f(n＋2,nn＋1)×eq\f(1,2n)＝\x(导学号10510664)[答案]1－eq\f(1,n＋1·2n)[解析]由已知中的等式：eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,22)eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＝1－eq\f(1,3×22)，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋eq\f(5,3×4)×eq\f(1,23)＝1－eq\f(1,4×23)，…，所以对于n∈N*，eq\f(3,1×2)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,2×3)×eq\f(1,22)＋…＋eq\f(n＋2,nn＋1)×eq\f(1,2n)＝1－eq\f(1,n＋12n).三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知函数f(x)满足下列条件：(1)f(eq\f(1,2))＝1，(2)f(xy)＝f(x)＋f(y)，)(3)f(x)的值域为[－1,1]．试证明：eq\f(1,4)不在f(x)的定义域内.eq\x(导学号10510665)[证明]假设eq\f(1,4)在f(x)的定义域内，因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以f(eq\f(1,4))＝f(eq\f(1,2)×eq\f(1,2))＝f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,2))＝2.又f(x)的值域为[－1,1]，2∉[－1,1]，所以eq\f(1,4)不在函数f(x)的定义域内．18．(本题满分12分)(2023·泉州高二检测)已知a>0，b>0用分析法证明：eq\f(a＋b,2)≥eq\f(2ab,a＋b).eq\x(导学号10510666)[证明]因为a>0，b>0，要证eq\f(a＋b,2)≥eq\f(2ab,a＋b)，只要证，(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故eq\f(a＋b,2)≥eq\f(2ab,a＋b)成立．19．(本题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点\x(导学号10510667)(1)求证：A1B⊥AD；(2)求证：CE∥平面AB1D.[证明](1)连接A1D，BD，DG，∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a∴四边形A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD∵G为A1B中点，∴A1B⊥DG.又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D，又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD.(2)连接GE，∵EG∥A1A∴GE⊥平面ABC.∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，∵GE＝DC＝eq\f(1,2)a，∴四边形GECD为平行四边形，∴EC∥GD，又∵EC⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，∴EC∥平面AB1D.20．(本题满分12分)(2023·常州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：eq\x(导学号10510621)①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解析](1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)推广后的三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).21．(本题满分12分)(2023·西安高二检测)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点.eq\x(导学号10510668)(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长．(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．[解析](1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(t，eq\f(1,2))，代入椭圆方程得eq\f(t2,4)＋eq\f(1,4)＝1，即t＝±eq\r(3)，所以AC＝2eq\r(3).(2)假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以t≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝kx＋m))消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则eq\f(x1