以“不变”应“万变”

以“不变”应“万变”本文选取2008年广东省东莞市的一道中考题作为案例进行反思，、联想、拓展。以中考题作为案例引导学生自主探究，一方面反思问题的解题方法，思路是否具有规律性，能否迁移处理类似的问题；另一方面反思问题的图形结构能否改变，命题的条件能否弱化或加强，结论能否拓展，引申与推广，这样不但可以深化学生对问题的理解，优化思维过程，完善认知结构，而且可以提高学生自主探究，分析解决问题的创新思维能力。例1，如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD相交于点E，求∠AEB的大小，并探究AC，BD的数量关系?二、试题及其解析解题1、由题意可知△

AOB与△OCD为全等的等边三角形，∴BO=AO=OD=CO，∠BOD=180°-60°=120°=∠AOC,∴△

BOD≌

△AOC(SAS),∴AC=BD,∠ACO=∠BDO.∴∠AEB=∠BDO+∠CAO=∠ACO+∠CAO=∠COD=60°;°解题2、在证明AC=BD时与解法1相同,但求∠AEB的度数时,解法1是通过三角形外角的性质作为依据来求,于是不妨把角度转移到∠AEB所在的三角形内部即利用三角形内角和的性质来解决。解；∵△AOC≌△DOB(已证)∴∠DBO=∠CAO又∵∠AEB=180°-∠DBO-∠OBA-∠CAB∴∠AEB=180°-∠CAO-∠OBA-∠CAB变式1：如图△OCD固定不动，保持△OAB的形状大小不变，将△OAB绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠）求；∠AEB的大小，并探究AC，BD的数量关系？三、反思条件，拓展命题解；将△OAB绕着点O旋转的过程中，形状、大小均不改变，即BO=AO=OD=CO，∠BOD=60°+∠BOC=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴AC=BD，∠DBO=∠CAO，∴∠AEB=180°-∠DBO-∠ABO-∠BAE=180°-∠ABO-∠BAO=60°变式2：若将例1中的条件“点O是线段AD的中点”改变，即点O是线段AD上的一个动点。如图；O为线段AD上一动点且不与A,D重合在AD的同侧分别作正△ABO和正△CDO,则以下结论恒成立的有(1)AC=BD,(2)∠AEB=60°,(3)PB=QA,(4)PQ∥AD恒成立的有____________.解:由△ACO≌△BDO,得AC=BD,∠AEB=60°,∴(1),(2)都正确,同时可得∠PBO=∠QAO∵∠BOA=∠BOP,AO=BO∴PB=OA,OP=OQ,∴△OPQ为正三角形即∠OPQ=∠POD=60°∴PQ∥DO变式3：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此，我们可以进行类比联想，若将在同侧所作的等边三角形推广为一般等腰三角形，情况又会怎样呢？如图，B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC，CE=ED，∠BAC=∠CED=90°，求∠AFB的度数？解：由已知可得：△ABC和△ECD均为等腰直角三角形∴=且∠BCD=45°+∠ACD=∠ACE∴△ACE∽△BCD即∠EAC=∠DBC∴∠AFB=∠DBC+∠AEC=∠EAC+∠AEC=∠ACB==45°变式4若∠BAC=80°,其他条件都不变,由上例可推出∠AFB==50°若∠BAC=a,其他条件都不变,由上例可推出∠AFB==90°-变式5(将2个等腰三角形的顶角重合放在一条直线上)如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连结BE、CD、M、N分别为BE、CD的中点。（1）求证：①BE=CD②△AMN是等腰三角形图11）①仿例1的证明方法，容易得到BE=CD②因为△ABE≌△ACD，且BE、CD为两全等三角形中的对应边，又因为AM、AN分别为BE、CD边上的中线，所以AM=AN，即△AMN等腰三角形；（2）在图1的基础上，将②△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形请直接写出（1）问中的结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请在图2中延长ED交线段BC于点P，求证：△PBD∽△AMN图1图2解析（2）(在）问中的两个结论仍然成立；（3）在图2中正确的画出线段PD，容易得证△ABM≌△CAN，∴∠CAN=∠BAM，

∴∠BAC=∠MAN，又∵∠BAC=∠DAE，

∴∠MAN=∠DAE=∠BAC。∴△AMN、△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形；∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ADE=∠ANM，∴△PBD∽△AMN在AD同侧分别作正方形(矩形),依此条件可得到2008浙江省义务数学中考题.直击中考反思解法:总结解题的思维规律探究几何图形所具有性质的“变”