湖南省娄底市青烟中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析

湖南省娄底市青烟中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=sinx+lnx，则f′（1）的值为（）A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1参考答案：B【考点】导数的加法与减法法则．【分析】求函数在某点处的导数值，先求导函数【解答】解：因为f′（x）=cosx+，则f′（1）=cos1+1．故选B．2.某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：B略3.已知直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率为()A.

B.

C.

D.参考答案：B4.已知,,则下列各式中正确的是(

)A.a＜＜b

B.a＜b＜C.b＜a＜

D.b＜＜a

参考答案：B5.过点的直线交椭圆于，两点,且的中点坐标为，则（）A．1

B．

C.3

D．4参考答案：C6.给出下列四个不等式：①当x∈R时，sinx+cosx>–；②对于正实数x，y及任意实数α，有xsin

2

α

·ycos2

α

<x+y；③x是非0实数，则|x+|≥2；④当α，β∈(0，)时，|sinα–sinβ|≤|α–β|。在以上不等式中不成立的有（

）（A）0个

（B）1个

（C）2个

（D）3个参考答案：A7.已知回归直线过样本点的中心（4，5），且=1.23，则回归直线的方程是（

）A．＝1.23＋4

B．＝1.23＋5

C．＝1.23＋0.08

D．＝0.08＋1.23参考答案：C解：回归直线方程为：5=1.23×4＋

解得＝0.08∴＝1.23x＋0.088.当x＞0，y＞0，+=1时，x+y的最小值为（）A．9 B．10 C．12 D．13参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】巧用1，将已知等式与x+y相乘，得到基本不等式的形式，利用基本不等式求最小值．【解答】解：由已知x＞0，y＞0，+=1，所以x+y=（+）（x+y）=5+≥5+2=9；当且仅当即x=3，y=6时等号成立；故选A．9.已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（） A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）参考答案：B考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题： 简易逻辑．分析： 求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答： 解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．10.复数（）A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i参考答案：A试题分析：考点：复数运算二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“若ab=0，则a，b中至少有一个为零”的逆否命题是

。参考答案：若a,b都不为零，则ab不为零.12.若角满足，则＝_____；参考答案：【分析】由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化简后，把tanα的值代入即可．【详解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝．故答案为：【点睛】本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题．13.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是

***

.参考答案：14.已知为坐标原点，，，，若点在直线上运动，则的最小值为

▲

.参考答案：略15.在直角坐标系中，直线的斜率是

▲

参考答案：16.在自然数中定义“*”运算，观察下列等式：2*3=2+3+4；3*5=3+4+5+6+7；7*3=7+8+9；……；若3*n=42，则n=

。参考答案：7略17.已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．参考答案：y=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x，则f′（x）=ex﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．参考答案：【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为．（2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），当且仅当CE⊥DE时，则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．19.已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：(a＞b＞0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为．（1）求椭圆C2的方程；（2）经过点（﹣1，0）作斜率为k的直线l与曲线C2交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在实数k，使O在以AB为直径的圆外？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标（0，1），求得a和b的关系，由C1与C2的公共点的坐标为（±，），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得，可知O恒在为AB直径的圆内，故不存在实数k．【解答】解：（1）由C1：x2=4y知其焦点F的坐标为（0，1）．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2﹣b2=1．①又C1与C2的公共弦的长为，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以．②联立①，②得a2=9，b2=8．故C2的方程为．（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），联立方程，整理得（9+8k2）x2+16k2x+8k2﹣72=0．设A（x1，kx1+k），B（x2，kx2+k），于是有x1+x2=，x1x2=．因为，?=x1x2+（kx1+k）（kx2+k）==．所以．可知O恒在为AB直径的圆内．∴不存在实数k，使O在以AB为直径的圆外．20.正数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是

（）

A．

B．

C．

D．.参考答案：B21.设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：（1）方程f（x）=0有实根．（2）若﹣2＜＜﹣1且设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，则≤|x1﹣x2|＜参考答案：证明：（1）若a=0，则b=﹣c，f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=﹣c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0．方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2﹣3ac），由条件a+b+c=0，消去b，得△=4（a2+c2﹣ac）=故方程f（x）=0有实根．（2）由条件，知，，所以（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=．因为﹣2＜＜﹣1所以故22.某厂有一台价值为1万元的生产设备，现要通过技术改造来提高该生产设备的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入金额x万元之间满足：①y与和的乘积成正比；②当时，.并且技术改造投