高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）幂函数 市赛获奖

幂函数【教学目标】1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.【教学重难点】教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.教学难点:幂函数的性质.【教学设计建议】一、导入新课1、前面我们已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，这类函数有什么特点呢？2、生活中也有这些问题：(1).如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数.(2).如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.(3).如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.(4).如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数.(5).如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.以上这些我们生活中经常遇到的几个数学模型,这些函数解析式有什么共同特点？二、探索新知（一）观察分析上述函数的解析式，给这类函数命名。由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数。如果我们用字母a来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:一般地,形如y=xa（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,a是常数.如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.（二）画出画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象1、学生通过列表、描点、连线画函数图象:x…-3-2-10123…y=x…-3-2-10123…y=x…01…y=x2…9410149…y=x3…-27-8-101827…y=x-1…--11…2、观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律，完成表格函数性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域值域奇偶性单调性特殊点图象分布（三）归纳新知1、幂函数的定义及其注意2、上诉五个函数的图像及性质函数性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇奇奇非奇非偶奇单调性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减特殊点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)图象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限三、反思提升（一）幂函数的定义及说明（二）幂函数的图像及特点1、第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象,而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.2、幂函数y=xa的性质.（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（2）当a＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.特别地,当a＞1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,a越大,下凸的程度越大.当0＜a＜1时,x∈（0,1）,y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,a越小,上凸的程度越大.（3）当a＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.（三）数学方法与思想类比法和数学结合的思想四、反馈例练（一）基础例练例1判断下列函数哪些是幂函数.①y=;②y=x-3;③y=x-2;④y=x.⑤y=2x2活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别,形如y=xa（x∈R）的函数称为幂函数,严格按这个标准来判断.解：①不是;②是;③是④是⑤不是例2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x,（2）y=x,（3）y=x-2.活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.解：（1）偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数.（2）非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上是减函数.（3）偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.例3证明幂函数f(x)=在［0,+∞)上是增函数.（二）巩固例练例1函数y＝（x2-2x）的定义域是()A.{x|x≠0或x≠2}B.（-∞,0）∪（2,＋∞）C.（-∞,0］∪［2,＋∞)D.（0,2）答案：B例2比较下列各组数的大小：（1）（2）解：（1）（2）（三）拓展提升分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系.①y＝x-1,y＝x-2,y=x-3;②y＝x,y＝x;③y=x,y=x2,y=x3;④y=x,y＝x.活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示.解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图2-3-2、图2-3-3，图2-3-4、图2-3-5.图2-3-2图2-3-3图2-3-4图2-3-5五、课后作业教科书P791,P82,复习参考题A组题10课后思考题：（1）.设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（A）．(A)，(B)，(C)，(D)，，（2）如果幂函数(p∈Z)是偶函数．且在(