高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何（区一等奖）

空间向量的数量积【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。【学习目标】掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；【重点】利用两个向量的数量积解决立体几何中的问题．【难点】空间向量的坐标运算的规律一、自主学习1预习教材P90~P92,解决下列问题复习1：什么是平面向量与的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求.导学提纲1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间，作，则叫做向量与的夹角，记作.⑴范围:=0时,;=π时,⑵成立吗？⑶，则称与互相垂直，记作.2)向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即.⑴两个向量的数量积是数量还是向量？⑵（选0还是）⑶你能说出的几何意义吗？3)空间向量数量积的性质：（1）设单位向量，则．（2）．（3）＝.（4）=____________4)空间向量数量积满足哪些运算律：_____________________________⑴吗？举例说明.⑵若，则吗？为什么?⑶若，则吗？为什么？5)对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要___个向量？这几个向量有何位置关系？空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使.如果两两，这种分解叫空间向量的___________.空间向量基本定理：如果三个向量，对空间任一向量，存在有序实数组，使得.把的一个基底都叫做__________.空间任意一个向量的基底有个.一个基底可以表示_____个空间向量？如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用_________表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着.⑸设A，B，则＝.⑹向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则⑴a＋b＝_________________；⑵a－b＝_________________；⑶λa＝__________________;；⑷a·b＝_____________________.试用向量方法证明直线与平面垂直的判断定理二、典型例题例.下列命题中：①若，则，中至少一个为②若且，则③④正确有个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（）A.B.C.D.3.若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）A.B.C.D.4.设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是5.已知中，所对的边为，且,,则=6.在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝7.已知，，且和不共线，当与的夹角是锐角时，的取值范围是.8.正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是.9.已知向量满足，，，则____10.已知关于x的方程有两个实根，，且，当t＝时，的模取得最大值.例2如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（）A.60°B.90°C.105°D.75°例3如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．例4在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·eq\o(OC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).三、变式训练：课本第92页练习1-3，