数学知识点(-四边形)

四边形学问点1 四边形的相关概念形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母来表示．挨次．如图读作“四边形ABCD ”．同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．留意：我们今后争论的四边形都指凸四边形．留意：①四边形共有两条对角线．连结四边形的对角线也是一种常用的关心线作法．学问点2 四边形的不稳定性应用．3四边形的内角和定理及外角和定理四边形内角和定理：四边形的内角和等于360．四边形外角和定理：四边形的外角和等于360．留意：1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．推论：1n边形的内角和等于(n2180．2、多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360．3、nn(n3)2

条对角线．学问点4 多边形对角线条数公式nn(n3)．2学问点5 平行四边形的概念□ABCD记作□ABCD．读作：平行四边形ABCD 学问点6 平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．(2)平行四边形的对边平行且相等．(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．(4)平行四边形的对角线相互平分．假设始终线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点中点，且这条直线二等分四边形的面积．学问点7 平行四边形的判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(4)3：对角线相互平分的四边形是平行四边形．条件边角一组对边相等条件边角一组对边相等对角线24413学问点8 两条平行线的距离线间的距离处处相等．留意：距离是指垂线段的长度，是正值．两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置转变．平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可依据需要敏捷选择位置．学问点9 平行四边形的面积11，S平行四边形ABCD

BCAECDAF．S平行四边形离)．

底边长×高ahaha边与其对边的距高也就确定了．2、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．

平行四边形ABCD

S ．平行四边形EBCF 图1 图2学问点10 矩形的概念有一个角是直角的平行四边形是矩形．：矩形首先是平行四边形，然后增加一个角是直角这个特别条件．学问点11 矩形的性质(1)具有平行四边形的一切性质．(2)矩形的四个角都是直角．(3)矩形的对角线相等．(4)矩形是轴对称图形．用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等．学问点12 矩形的判定(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)1：有三个角是直角的四边形是矩形．(3)2：对角线相等的平行四边形是矩形．留意：矩形．②用定理2证明一个四边形是矩形，也必需满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边是矩形．13矩形的面积矩形面积＝长×宽．14菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．：菱形必需满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．学问点15 菱形的性质具有平行四边形的一切性质．菱形的四条边都相等．(4)菱形是轴对称图形．学问点16 菱形的判定(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)1：四边都相等的四边形是菱形．(3)2：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．留意：对角线相互垂直的四边形不肯定是菱形，必需加上平行四边形这个条件它才是菱形．一个四边形是菱形和有关计算．学问点17 菱形的面积菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．学问点18 正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．矩形又是菱形的四边形是正方形．矩形、菱形、正方形都是特别的平行四边形，它们的包含关系如图：学问点19 正方形的性质(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．(2)正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．2：正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形是轴对称图形，有4条对称轴．正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．学问点20 正方形的判定判定一个四边形为正方形主要依据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．判定正方形的一般挨次：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最终证明它是矩形(或菱形)．学问点21 正方形的面积正方形的面积等于边长的平方，或者等于两条对角线乘积的一半．即：假设正方形的边长为a，对角线长为bSa2学问点22 梯形的相关概念

b2．2一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫做梯形的底．位置说的．梯形中不平行的两边叫做梯形的腰．梯形两底的距离叫做梯形的高．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．梯形一般如下分类：一般梯形梯形 直角梯形特别梯形等腰梯形 解决梯形问题的根本思路：转化梯形问题 三角形或平行四边形问题．种思路常通过平移或旋转来实现．学问点23 梯形的判定梯形的判定：(1)定义法：判定四边形中①一组对边平行；②另一组对边不平行．(2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．学问点24 等腰梯形的性质等腰梯形两腰相等、两底平行．(3)等腰梯形的对角线相等．(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴．形同一底上的两底角相等．学问点25 等腰梯形的判定两腰相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．学问点26 梯形的面积

1(CDAB)DE．2梯形中有关图形面积：①SABD②SAOD③SADC

S ．BACS ．BOCS ．BCD学问点27 平行线等分线段定理：定理的作用：①可以证明同一条直线上的线段相等．留意：(1)定理中的“平行线组”是每相邻两条的距离都相等的特别的平行线组．(2)定理中的“平行线组”是由三条或三条以上直线组成的．学问点28 平行线等分线段定理的推论：1：经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰．推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．它们的作用为：平分线段，求线段的中点或证明线段的倍分．中点．学问点29 三角形、梯形中位线的概念留意：①三角形共有三条中位线，并且它们又重构成一个的三角形．②要会区分三角形中线与中位线．连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的中点的线段．学问点30 三角形中位线定理三角形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行．结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半．2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．4：三角形一条中线和与它相交的中位线相互平分．结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．学问点31 梯形中位线定理梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．梯形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明三条直线平行．②数量关系：可以证明一条线段与另两条线段的倍分关系．学问点32 梯形对角线与中位线所截得的线段长为下底上底2练习题一、例题分析1、四边形4123例1〔1〕凸五边形的内角和等于 度，外角和等于 4123〔2〕假设一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是 .平行四边形的运用例2 如图,∠1=∠2,则以下结论肯定成立的是( ) B CAB∥CD B. AD∥BC C. ∠B=∠D D. ∠3=∠4假设ABCD是平行四边形，则上述四个结论中那些是正确？你还可以得到什么结论？ A D矩形的运用 E O F例3 对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、则阴影局部的面积是矩形 B 图1 CABCD的面积的〔 5

4

C13

D310菱形的运用例4 1.一个菱形的两条对角线的长的比是2:3,面积是12cm2,则它的两条对角线的长分别为D 、 .周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为 .等腰梯形的有关计算例5 图E C轴对称的应用例6 如图,牧童在A处放牛,其家在B处,假设牧童从A处动身牵牛到河岸CD边饮水后再回家,试问在何处饮水所走路程最短? BC D中心对称的运用例7 如图,作△ABC关于点O的中心对称图形

A △DEFO平移作图例8．在5×5方格纸中将图〔1〕中的图形N平 移后的位置如图〔2〕中所示，那么正确的平移方法是〔 (A)先向下移动1格，再向左移动1格12格旋转的运用

CCNNCNNM1图(1)M2图(2)〔1题〕例9 如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠C和∠AED都 A D是直角,CAD上,假设△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么哪一点是旋转中心?旋转了多少度? 解: 是旋转中心, 向旋转了 .根底达标 E一、选择题：一个内角和是外角和的2倍的多边形是 边形.有以下四个命题:两条对角线相互平分的四边形是平行四边形. (2)两条对角线相等的四边形是菱形.两条对角线相互垂直的四边形是正方形. 的四边形是正方形,其中正确的个数为( )A.4 B.3 C.2 D.13．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是〔 一组对角相等 B．对角线相互平分 C．一组对边相等

相互垂直E D4．在一个平面上有不在同始终线上的三点，则以这三点为顶点的平行四边形有〔 〕个 B．2个 C．3个 D．4个 B C5.如图,□ABCD中,∠C=108°,BE平分∠ABC,则∠ABE等于( ) A.18° B.36° D.108° 5题图6、以下说法中，正确的选项是〔 〕A、等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形． B、正方形的对角线相互垂直平分且相等F、矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D、菱形的对角线相等F7、如图，在平行四边形ABCD中，以下各式不肯定正确的选项是〔 〕E．121800 ．231800 DC341800 241800 7题图A题图

C_ 88在平行四边形ABCD中∠B=100延长AD至F延长CD至连接E则∠E∠F〔 〕〔A〕1100 〔B〕300 〔C〕500 〔D〕700BC97，直线lABCDAB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=OC；④AB⊥BC，其中正确的结论有 。如图,观看以下图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( ).A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B．以下根本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，得到右图的是( A．B． C. Ｄ．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转假设干次而生成的则每次旋转的度数可以是〔 〕12题图A．900 B．600 C．450 D．300勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个一样的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的选项是( )A．它是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．它是中心对称图形，但不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

(图2)14、以下图可以看作是一个等腰直角三角形旋转假设干次而生成的则每次旋转的度数可以是〔 〕FEA．900 B．600 C．450 D．300 FE图AC图B17题图

14题

O DB 15D题C 16题图15、如上图，O是正六边形ABCDE的中心，以下图形中可由△OBC平移得到的是 〔 〕A．△OCD B．△OAB C．△OAF D．OEF如图,D、EF是△ABC三边的中点,且DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,平移△AEF可以得到的三角形是( )△BDF B.△DEF C.△CDE D.△BDF和△CDE将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图17的位置,假设则°18、如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影局部面积相等的是( )①①②③④只有和相等 只有和相等 C．只有和相等 和和分相等19.如图,△ABC,画出△ABCC90°后的图形.EFA BFA D CC C1B20题图，AB=10cmBDcm.21假设四边形的两条对角线相等则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是( A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形22．如图：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C＝60°AB=6cm.ACBC的值；ABl为轴旋转一周所得的几何体的侧面积.(结果用含π的代数式表示)、如图，在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥ABFBC的中点．DEDE求证：DE=CFB F C=〔通过证明等腰三角形得证。〕EF如图,E、 F是ABCD的对角线AC上两点,AE=CF. D CEF(2)BE∥DF.AE1O26如图， 在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边B、BC分AE1OEHDHDFA G2B F CB C1,3ABCDC30°后得到正方形.2.假设将线段BD围着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的E点处，那么tan∠BED等于 ,DF=的中点。求证：四边形MENF是菱形；假设四边形MENFABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。四边形及平移旋转对称答案二、考题例析