高中数学高考一轮复习一轮复习 相等关系与不等关系

课时作业(三)相等关系与不等关系一、单项选择题1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)C．f(x)<g(x) D．随x的值变化而变化B[f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0⇒f(x)>g(x).]2．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－mD[m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立，故选D.]3．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，β∈[0，π]，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，π))D[由题设得－eq\f(π,3)<2α<π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,3)，所以－eq\f(π,3)≤－eq\f(β,3)≤0，所以－eq\f(2π,3)<2α－eq\f(β,3)<π.]4．“m>0且n>0”是“mn>0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[由m>0且n>0，即m，n同正，得mn>0成立，充分性成立；而mn>0时，m>0且n>0或m<0且n<0，必要性不成立．故选A.]5．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是()A．a－b>0 B．a3＋b3>0C．a2－b2<0 D．a＋b<0D[由a＋|b|<0知a<0，且|a|>|b|，当b≥0时，a＋b<0成立，当b<0时，a＋b<0成立，所以a＋b<0恒成立．故选D项．]6．若a>b>0，c<d<0，则下列结论正确的是()A．eq\f(a,c)－eq\f(b,d)>0 B．eq\f(a,c)－eq\f(b,d)<0C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)D[因为c<d<0，所以0<－d<－c，又0<b<a，所以－bd<－ac，即bd>ac，又因为cd>0，所以eq\f(bd,cd)>eq\f(ac,cd)，即eq\f(b,c)>eq\f(a,d)，故选D项．]7．(2023·山东德州乐陵第一中学调研)已知－1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是()A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<abD[因为－1<a<0，b<0，所以ab>0，a2b<0，所以ab为三者中的最大值．因为－1<a<0，所以0<a2<1，所以a2b－b＝(a2－1)b>0，所以a2b>b，所以b<a2b<ab.故选D.]8．已知a<b<c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2<b2<c2 B．a|b|<c|b|C．ba<ca D．ca<cbD[因为a<b<c且a＋b＋c＝0，所以a<0，c>0，b的符号不确定．因为b>a，两边同时乘以正数c，不等号方向不变，所以ca<cb恒成立．]二、多项选择题9．已知a，b，c是实数，下列结论中正确的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件CD[对于A项，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是a<b，所以充分性不成立；对于B项，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是a2<b2，所以必要性不成立；对于C项，由ac2>bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D项，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立；当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选CD项．]10．设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是()A．aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2)) B．eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－cC．eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b) D．ac2<bc2ABC[因为y＝xeq\s\up6(\f(1,2))在(0，＋∞)上是增函数，所以aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2))，故A项正确；因为y＝eq\f(1,x)－c在(0，＋∞)上是减函数，所以eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－c，故B项正确；因为eq\f(a＋2,b＋2)－eq\f(a,b)＝eq\f(2（b－a）,（b＋2）b)>0，所以eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b)，故C项正确；当c＝0时，ac2＝bc2，所以D项不正确．故选ABC项．]11．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则不等式中，正确的是()A．a＋b<ab B．|a|<|b|C．a<b D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2ABD[若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则a<0，b<0，且a>b，所以a＋b<0，ab>0，故A正确；由a<0，b<0，且a>b，显然|a|<|b|，故B正确；显然C错；由于a<0，b<0，故eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0.则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2(当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时取“＝”).又a>b，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2.故D正确．故选ABD.]12．(2023·浙江温州七校期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是()A．若ab≠0且a<b，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)B．若0<a<1，则a3<aC．若a>b>0，则eq\f(b＋1,a＋1)>eq\f(b,a)D．若c<b<a且ac<0，则cb2<ab2BC[对于A项，取a＝－2，b＝1，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)不成立，故A项错误．对于B项，若0<a<1，则a3－a＝a(a2－1)<0，∴a3<a，故B项正确．对于C项，若a>b>0，则a(b＋1)－b(a＋1)＝a－b>0，∴a(b＋1)>b(a＋1)，∴eq\f(b＋1,a＋1)>eq\f(b,a)，故C项正确．对于D项，若c<b<a且ac<0，则a>0，c<0.而b可能为0，因此cb2<ab2不一定成立，故D项错误．故选BC.]三、填空题13．已知a，b∈R，则不等式a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立的条件是________．解析：若ab<0，由a<b两边同除以ab得eq\f(1,b)>eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；若ab>0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立的条件是a<0<b.答案：a<0<b14．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为xm，则相邻边长为eq\f(30－x,2)m，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))m，根据题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216.))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216))15．已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·(eq\f(1,b2)－eq\f(1,a2))＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)16．已知12<a<60，15<b<36，则a－b的取值范围是________，eq\f(a,b)的取值范围是________．解析：因为15<b<36，所以－36<－b<－15.又12<a<60，所以12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45，所以a－b的取值范围是(－24，45).因为e