高中数学人教A版第一章集合与函数概念集合（区一等奖）

2．集合间的基本关系张长印学习目标1．理解集合之间包含与相等的含义．2．会求给定集合的子集．3．了解空集的含义．一、夯实基础基础梳理1．子集、集合相等及真子集．（1）子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集．对任意元素，必有，则__________，读作“含于”或“包含”．（2）集合相等如果集合是集合的__________（），3一集合是集合的__________，此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与2集合相等，记作__________．（3）真子集文字语言符号语言图形语言如果集合是集合的__________，且在集合中__________存在一个元素不是集合的元素，我们称集合是集合的真子集．若集合，但存在，且，则（或）（读作“真包含于”或“真包含”）．2．空集（1）定义：不含任何__________的集合叫做空集，记为．（2）规定：空集是任何集合的__________，即．3．题型分析（1）集合间关系的判断；（2）两集合相等；（3）集合间的关系及应用．基础达标1．以下式子中，正确的个数为（）．①；②；③；④；⑤．A．1 B．2 C．3 D．42．设，，则下列关系正确的是（）．A． B． C． D．3．满足条件的集合的个数是__________．4．（1）设，，，，则与的关系为__________．（2），，则与的关系为__________．5．设，，若真包含于，则的取值范围是__________．二、学习指引自主探究1．根据子集的定义，解决下列问题：（1）写出，，，，的包含关系，并用图表示；（2）判断正误：①空集没有子集． （）②空集是任何一个集合的真子集． （）③任一集合必有两个或两个以上子集． （） ④若，那么凡不属于集合的元素，则必不属于． （）2．符号“”与“”有何区别与联系？3．（1）“包含于”等价于“对于任意，都有”，那么“不包含于”的等价条件是什么？若，则是由中的部分元素所组成的，这种说法对叶绿素？（2）如果要你证明或证明，你的思路是什么？（3）若，，判断、是否相等并说明理由．4．思维拓展：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．请分别写出下列集合的所有子集，写出的子集个数，并归纳推理出=元集合的子集个数．元素个数集合的所有子集子集的个数123……结论：的子集个数为__________．你能否说出其中的道理？案例分析1．判断下列关系是否正确：（1）；（2）；（3）已知，则．【答案】（2）（3）正确，（1）错误．2．下列四个集合中，是空集的是（）．A． B．C． D．【答案】D．【解析】选项A的集合；选项B的集合；选项C的集合；选项D集合中的方程无实数根，所以为空集．3．已知，，若，求实数的值．【解析】当时，，满足．当时，，由得或，即或．综上所述，或1或．说明：对于，不可忘记可能为空集．4．已知集合，，（1）若不成立，求实数的取值集合；（2）设，若集合，且与有公共元素．求实数的取值集合．【解析】（1）若成立，则，所以若不成立，则实数，故实数的取值集合．（2）因为，所以，又因为与有公共元素，所以．故实数的取取值集合为，说明：可在数轴上画出这些集合并观察．三、能力提升能力闯关1．设，，若，则实数的取值范围是__________．2．（1）已知，,，，写出所有满足条件的集合．3．集合，，若，讨论实数取值情况．拓展迁移4．设，是两个集合，定义集合，如果，，那么等于（）．A． B．C． D．5．集合，，（1）若，求实数的取值范围．（2）当时，求的非空真子集个数．（3）当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围．挑战极限6．已知，，求证：（1）；（2）．课程小结1．集合分类：有限集，无限集，空集．2．子集的概念及有关符号和性质是本节课学习的重点．3．对于两个集合与，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，我们就说集合等于集合，记作．4．元集合的子集数为；非空子集数为；真子集数为，非空真子集数为．想一想1．若，则，反之，成立吗？若，则，反之成立吗？2．正整数集是自然数集的子集吗？3．与相同吗？

2．集合间的基本关系基础梳理1．（1）．（2）子集、子集、．（3）子集、至少2．元素、子集基础达标1．．【解析】①⑤正确．说明：空集是任何非空集合的真子集．是含有一个元素的集合，是不含任何元素的集合，所以，不能写成．2．．【解析】∵，∴，所以成立．3．．【解析】设去掉元素后形成的集合为，则问题等价于：求满足条件的集合的个数，即求的非空子集数，显然是个．4．（1）．（2）．【解析】（1）在中，，而，故．（2），所以，故．5．．【解析】将集合在数轴上表示出来，不难知道，这里尤其要注意这种极端情况．自主探究1．（1）（如右图）；（2）只有④是正确的，其余全错．对于①、②来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．对于③来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．对于④来讲，当时必有，则时也必有．2．元素与集合之间用属于关系，用符号“”表达；集合与集合之间用包含关系，用符号“”表达．在判断包含关系时，要考察其中一个集合的元素与另一个集合的属于关系．3．【解析】（1）“不包含于”等价于“存在，但”．“若，则是由中的部分元素所组成的”这种说法是不正确的，因为可能是空集，也可能是．（2）证明，就是证明且．要证明“”，就是证明“，且存在，但”（3），下面证明．任取，则，当时．；当时，．∴．任取，则或，均有∴．综上可知，．4．思维拓展：【答案】．【解析】共有个子集：；共有个子集：；共有个子集：．猜想：的子集个数为．理由：集合中每增加一个元素，其子集数恰好增加一倍，这是因为将原有的每一个子集添加新元素，恰好得到所有新增加的子集，子集数正好增加一倍．结论：元集合的子集个数为．能力闯关1．．【解析】设，则∴∴．2．【解析】（1）由题，．由知集合为非空集合，且其元素全属于，即有满足条件的集合为：．（2）因为，，且，所以，即满足条件的集合为：．说明：将问题等价转化为求的公共元素组成集合的子集．3．【解析】，∵，∴或或或．①若，则；②若，则有两个相等的根，∴；③若，则有等根，∴；④若，则有两个根，∴；综上：或．拓展迁移4．．【解析】在数轴上画出集合所表示的数集范围和集合表示的数集范围，由定义，容易知道．5．【解析】（1）当即时，，满足．当即时，要使成立，需，所以．综上可得时，有．（2）当时，所以，的非空真子集个数为：．（3）①