高中数学人教A版第一章解三角形 同课异构

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中，若b=2asinB，则A=()°或60° °或60°°或60° °或150°【解析】选D.因为b=2asinB，所以bsinB=a12，由正弦定理知，si所以A=30°或150°.2.(2023·广州高二检测)在△ABC中，A=60°，a=6，b=4.满足条件的△ABC()A.无解 B.有解C.有两解 D.不能确定【解析】选A.因为asinA=b所以6sin60°=4所以sinB=2，故满足条件的△ABC无解.【补偿训练】在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是()A.一解 B.两解C.一解或两解 D.无解【解析】选B.因为bsinA=100×22=502，而0<5023.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定【解析】选C.由正弦定理可把不等式转化为a2+b2<c2.又因为cosC=a24.在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于()A.63 B.62 C.12【解题指南】由三角形内角和定理求出角A，再利用三角形中大角对大边确定最小边.【解析】选A.由三角形内角和定理得A=180°-(45°+60°)=75°，因为三角形中大角对大边，故最短的边为b，由正弦定理得bsin45°=1所以b=sin45°sin60°=225.已知在△ABC中，AB=6，A=30°，B=120°，则△ABC的面积为() B.18 3 3【解析】选C.因为A=30°，B=120°，所以C=30°.所以BA=BC=6.所以S△ABC=12=12×6×6×32=96.若在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，那么cosC=()14 B.14 23【解析】选A.由正弦定理得，a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，设a=2x，b=3x，c=4x(x>0)，所以cosC=a2+=-147.三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为() B.2 【解题指南】设已知的两边为a，b，利用根与系数关系求出a，b的夹角的余弦值，再利用余弦定理求出第三边的长.【解析】选B.设已知的两边为a，b，三角形为ABC，因为三角形两边a，b的夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，所以cosC=-35.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=25+9-2×5×3×-35=52，所以c=528.(2023·潍坊高二检测)设a，b，c分别是△ABC中A，B，C对应边的边长，则直线sinA·x-ay-c=0与bx+sinB·y+sinC=0的位置关系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直【解析】选，b，c分别是△ABC中A，B，C对应边的边长，则直线sinA·x-ay-c=0的斜率为sinAbx+sinB·y+sinC=0的斜率为-b因为sinAa·-bsinB=所以两条直线垂直.9.(2023·唐山高一检测)如图，一栋建筑物AB的高为(30-103)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为()A.30m B.60m C.30m D.40m【解析】选B.如图，在Rt△ABM中，AM=ABsin∠AMB=30-103sin15°过点A作AN⊥CD于点N，易知∠MAN=∠AMB=15°，所以∠MAC=30°+15°=45°，又因为∠AMC=180°-15°-60°=105°，所以∠ACM=30°.在△AMC中，由正弦定理得MCsin45°=解得MC=403CD=403×sin60°=60(m)，故通信塔CD的高为60m.【拓展延伸】求距离问题的注意事项(1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角形问题.(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素.(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.【补偿训练】某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离d1与第二辆车和第三辆车之间的距离d2之间的关系为()>d2 =d2<d2 D.不能确定大小【解析】选C.设山顶为点P，山高为PD，第一、二、三辆车分别为A，B，C，俯角差为α，作出图形如图，由题知∠CPB=∠BPA=α，由正弦定理，得d2sinα=PBsin∠PCB，即PBsinα=d2sin∠PCB=d1sin∠PAB，又因为sin∠PAB>sin∠PCB，所以d1<d2.10.若△ABC的三边分别是a，b，c，它的面积为a2+b° ° ° °【解析】选A.由题意知12ab·sinC=a所以3sinC=a2所以tanC=3311.(2023·福州高二检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-bc-a=sinAA.π6 B.π4 C.π3【解题指南】利用正弦定理将c-bc-a=【解析】选C.根据正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R，得c-bc-a=sinAsinC+sinB=ac+b，即a2+c2-b12.(2023·厦门高二检测)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B+C)<sin2B+sin2C，()A.0,π2 C.π6,π3【解析】选D.由题意得sin2A<sin2B+sin2再由正弦定理得a2<b2+c2，即b2+c2-a2>0.则cosA=b2因为0<A<π，所以0<A<π2又a为最大边，所以A>π3因此得角A的取值范围是π3二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.在△ABC中，a=3，b=6，A=2π3，则B=【解析】由正弦定理得3sin2π3所以sinB=22因为B∈0,所以B=π4答案：π14.(2023·临沂高二检测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB=45，a=10，△ABC的面积为42，则b+asinA的值等于【解析】依题意可得sinB=35又因为S△ABC=12所以c=14.故b=a2+c所以b+asinA=b+bsinB=16答案：16215.已知△ABC的周长为2+1，且sinA+sinB=2sinC.若△ABC的面积为16sinC，则角C的度数为__________【解析】由sinA+sinB=2sinC，得a+b=2c.又因为a+b+c=2+1，所以c=1，a+b=2.又因为S△ABC=12absinC=1所以ab=13所以cosC=a2+b2-所以C=60°.答案：60°16.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于__________m.【解析】设AD垂直BC，垂足为D.由题意得：CD=603，BD=60tan15°=60(2-3)，所以BC=CD-BD=1203-120(m).答案：1203-120三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2023·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b，求cosB.(2)若B=90°，且a=2，求△ABC的面积.【解析】(1)因为sin2B=2sinAsinC，由正弦定理得b2=2ac，因为a=b，所以a=2c.由余弦定理得cosB=a2+c2-b2(2)因为B=90°，所以a2+c2=b2，又因为b2=2ac，所以a2+c2=2ac，所以a=c=2，所以S△ABC=12×2×218.(12分)在△ABC中，若tanAtanB=a【解析】方法一：由正弦定理得：sinAcosBsinBcosA=sin

2Asin所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A=180°-2B，即：A=B或A+B=90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二：sinAcosBcosAsinB=a2b2化简：b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2)，所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，所以a=b或a2+b2=c2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.19.(12分)(2023·锦州高二检测)风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，∠PAB=75°，∠QAB=45°，∠PBA=60°，∠QBA=90°，如图所示.则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？【解析】在△PAB中，∠APB=180°-(75°+60°)=45°，由正弦定理得APsin60°=100sin45°⇒在△QAB中，∠ABQ=90°，所以AQ=1002.∠PAQ=75°-45°=30°，由余弦定理得PQ2=(506)2+(1002)2-2×506×1002cos30°=5000，所以PQ=5000=502因此，P，Q两棵树之间的距离为502m，A，P两棵树之间的距离为20.(12分)(2023·三明高一检测)已知在△ABC中，C=2A，cosA=34，且2BA→(1)求cosB的值.(2)求AC的长度.【解析】(1)因为C=2A，所以cosC=cos2A=2cos2A-1=1所以sinC=378，sinA=所以cosB=-cos(A+C)=sinA·sinC-cosA·cosC=916(2)因为ABsinC=BC因为2BA→·CB所以|BA→||所以BC=4，AB=6，所以AC=B=16+36-2×4×6×【补偿训练】在△ABC中，AB→·AC→=83(1)求sin2B+C2+cos2A(2)若b=2，S△ABC=3，求a的值.【解析】(1)因为AB→·AC→=所以|AB→|·|=83×12|AB所以cosA=43所以cosA=45，sinA=3所以sin2B+C2=1-cos(B+C)2+2cos=1+cosA2+2cos2A(2)因为sinA=35，由S△ABC=1得3=12×2c×35，所以a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5×45所以a=13.21.(12分)(2023·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=π4，b2-a2=12c(1)求tanC的值.(2)若△ABC的面积为3，求b的值.【解题指南】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间的关系，再将式子作三角恒等变换即可求解.(2)根据条件首先求得sinB的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.【解析】(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-sin2A=12即sin2B-12=12sin所以-cos2B=sin2C又因为A=π4，所以B+C=3π4，2B=所以-cos2B=sin2C=2sinCcosC，即2sinCcosC=sin2C，所以(2)由tanC=2，C∈(0，π)，得sinC=255，cosC=又因为sinB=sin(A+C)=sinπ=sinπ4cosC+cosπ=310由正弦定理得c=22因为A=π4，1所以bc=62，所以b=3.22.(12分)(2023·郑州高二检测)已知向量m=3sinx4,1，n=cosx4,co(1)若f(x)=1，求cos2π3(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+12c=b，【解析】由题意得，f(x)=3sinx4cosx4+cos=32sinx2+12cos=sinx2+π(1)由