河南省开封市蔡庄中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

河南省开封市蔡庄中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】画出函数与的图像，根据两个函数图像有两个不同的交点，求得实数的取值范围.【详解】画出函数与的图像如下图所示，其中,由图可知，当时，两个函数图像有两个不同的交点.，故.注意到，即时，两个函数图像只有一个交点，不符合题意，由此排除B,C,D三个选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.2.已知,那么 （）A． B．

C． D．参考答案：C3.设复数（i是虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C4.若=，，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.

则下面结论中正确的是A.是奇函数

B.的值域是C.是偶函数

D.的值域是参考答案：D在坐标系中，做出函数的图象如图，由图象可知选D.6.的展开式中常数项等于

A．15

B．一l5

C．20

D．一20参考答案：A7.已知直线和平面、满足，，．在，，这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：答案：C8.若，其中a、b为实数，则a+b的值等于（）A．1 B．2 C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴，解得．∴a+b=．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC等于()参考答案：B10.数列{an}中，a3=1，a5=1，如果数列{}是等差数列，则a11=（）A．1 B． C．﹣ D．﹣参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】推导出数列{}的公差d=（）=0，再求出=，由此能求出a11．【解答】解：∵数列{an}中，a3=1，a5=1，数列{}是等差数列，∴数列{}的公差d=（）=（）=0．∴==，∴，解得a11=1．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果ａ、ｂ是异面直线，P是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论：①过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都相交；②过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都垂直；③过点P一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行；④过点P一定可以作直线与ａ、ｂ都平行.其中正确的结论是_____

.参考答案：②12.已知实数x，y满足，则z=2x﹣3y的最小值为．参考答案：﹣16【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣3y为y=﹣z，由解得A（7，10）由图可知，当直线y=﹣z过A（7，10）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于14﹣3×10=﹣16．故答案为：﹣16；【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13.过点作直线交抛物线x2=2py（p＞0）于A、B且M为A、B中点，过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，若N在直线y=﹣2p上，则p=

．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=2py（p＞0），得y′=，设A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的切线方程为x1x=p（y+y1），过点B的切线方程为x2x=p（y+y2），由已知得点A，B在直线xx0=p（y0+y）上，由此能求出p的值．【解答】解：由抛物线x2=2py（p＞0），得y′=，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴过点A的切线方程为：y﹣y1=，即x1x=p（y+y1），同理求得过点B的切线方程为：x2x=p（y+y2），设N（x0，y0），∵过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，∴，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线xx0=p（y0+y）上，∵直线AB过定点M（1，2），∴，∵N在直线y=﹣2p上，∴N（0，﹣2），∴p=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线中参数p的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．14.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则

.参考答案：试题分析：由题意得，，，.考点：等比中项；余弦定理.15.已知{an}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=

．参考答案：24【考点】等比数列的性质．【分析】由已知求得q2，再由a8+a12=（a6+a10）?q2得答案．【解答】解：在等比数列{an}中，由a2+a6=3，a6+a10=12，得，∴q2=2，则a8+a12=（a6+a10）?q2=12×2=24．故答案为：24．16.下列函数中，最小值为4的是________．①y＝x＋；②y＝sinx＋（0<x<π）；③y＝4ex＋e－x；④y＝log3x＋logx3（0<x<1）．参考答案：③.试题分析：①y＝x＋无最小值；②y＝sinx＋，当且仅当即等号成立，但这是不可能的；③y＝4ex＋e－x当且仅当即时等号成立；④当0<x<1时y＝log3x＋logx3<0无最小值．考点：基本不等式17.计算1﹣3+9﹣27+…﹣39+310=．参考答案：1024【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】逆用二项式定理，经观察，第一项1=110，最后一项为310，奇数项为正，偶数项为负，即可得到答案．【解答】解：∵1﹣3C101+9C102﹣27C103+…﹣39C109+310=（1﹣3）10=（﹣2）10=210=1024，故答案为：1024．【点评】本题考查二项式定理的应用，着重考查学生观察与逆用公式的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数(是常数)在处的切线方程为，且.（Ⅰ）求常数的值；（Ⅱ）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ），，；（Ⅱ）（Ⅰ）由题设知，的定义域为,,因为在处的切线方程为，所以,且，即,且,又，解得，，………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知因此，所以………………7分令.（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有.（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函数在内有两个不等根，所以，解得.

综上，实数的取值范围是………………13分19.（本小题满分12分）已知椭圆的离心事为，过其右焦点作与x轴垂直的直线与该椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点，且．(I)求椭圆E的方程;(II)若过点M(2，0)的直线与椭圆E相交于G、H两点，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．参考答案：20.设函数的图象过点.（I）求实数的值，并证明的图象关于原点对称；（Ⅱ）证明函数在上是减函数；参考答案：解：（Ⅰ）因为函数的图象过点，所以

……（2分）于是，，因为，且函数在定义域为，所以函数为奇函数，从而的图象关于原点对称.

…（6分）（Ⅱ）证明：设是上的任意两个实数，且，则.由，得，，又由，得，于是，即.所以函数在上是减函数.

………（12分）略21.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，D为BC的中点，，求△ABC的面积.参考答案：解：（1）∵，∴，∴，∴，又，∴，，∴，，∴.（2）∵，∴，∴，∴，又，，∴，∴.

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