广西壮族自治区南宁市兴宁中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

广西壮族自治区南宁市兴宁中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列.则=

（

）A．1 B．

C．或1

D．或参考答案：C2.已知菱形ABCD的边长为，对角线，点P在边DC上点Q在CB的延长线上，且，则向量的值是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】建立直角坐标系，求出向量，再根据向量数量积求结果.【详解】以AC，BD所在直线为坐标轴建立如图所示直角坐标系，则,所以，故选B【点睛】本题考查利用坐标求向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.3.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则等于（）A．﹣ B． C．0 D．参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值．

【专题】三角函数的求值．【分析】利用三角函数的定义，求出tanθ，利用诱导公式化简代数式，代入即可得出结论．【解答】解：∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，∴tanθ=3，∴===，故选：B．【点评】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，正确运用三角函数的定义、诱导公式是关键．4.下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略5.某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[0，30]，样本数据分组为，[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间是[5，15）小时的人数是（）A．15 B．27 C．135 D．165参考答案：C【考点】频率分布直方图．【分析】先由频率分布直方图计算出周末的学习时间是[5，15）小时的频率，进而可得周末的学习时间是[5，15）小时的人数．【解答】解：周末的学习时间是[5，15）小时的频率为1﹣（0.02+0.045+0.03+0.015）×5=0.45，故这300名高中生周末的学习时间是[5，15）小时的人数是300×0.45=135，故选：C6.由等式定义映射，则

A.10

B.7

C.-1

D.0参考答案：D由定义可知，令得，，所以，即，选D.7.已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45° B．30° C．15° D．60°参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），∵K（﹣，0），∴kKM=1，∴∠MKF=45°，故选A．8.设是定义在上的奇函数，当时，，则

A.

B.

C.１

D.３参考答案：A9.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知等差数列{an}的公差d≠0，Sn为其前n项和，若a2，a3，a6成等比数列，且a10=﹣17，则的最小值是（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式．【分析】根据题意，由等差数列的通项公式可得（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），解可得a1、d的值，进而讨论可得a1、d的值，即可得=，令≥且≥，解出n的值，解可得n=4时，取得最小值；将n=4代入=中，计算可得答案．【解答】解：∵等差数列{an}的公差d≠0，a2，a3，a6成等比数列，且a10=﹣17，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），a10=a1+9d=﹣17解得d=﹣2，a1=1或d=0，a1=﹣17（舍去）当d=﹣2时，Sn=n+=﹣n2+2n，则=，令≥且≥，解可得2+≤n≤3+，即n=4时，取得最小值，且=﹣；故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为,顶点都在一个球面上，则该球体的表面积为

.参考答案：12.若命题“?x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．参考答案：[0，4）考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：命题“?x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：∵命题“?x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）点评：本题考查的知识点是特称命题，恒成立问题，其中正确理解命题“?x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题的含义是ax2+ax+1＞0恒成立，是解答的关键．13.已知实数满足，则的最大值为_______________.参考答案：略14.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y＝f(x)是奇是函数

②.y＝f(x)是周期函数,周期为2

③..y＝f(x)的最小值为0,无最大值④.y＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为

.参考答案：②③，，则，故①错。，∴，故②正确。，在是单调递增的周期函数，所以的单调递增区间为，∴，故，无最大值，故③正确，易知④错。综上正确序号为②③。15.函数的单调递增区间为

参考答案：由知当即时，为增函数.,∴函数的增区间为.16.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别为BC、CD的中点，则

.参考答案：17.经过点（－2，3），且与直线平行的直线方程为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4—5：不等式选讲已知函数（I）求不等式的解集；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（I）原不等式等价于或

解得,即不等式的解集为

---------（5分）（II）

----（10分）略19.（本题共12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分），，，平面⊥平面，是线段上一点，，．（Ⅰ）证明：⊥平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）

20.已知函数（1）当时，求的单调递减区间；（2）对任意的，及任意的，恒有成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）,

………………2分∴的递减区间为

………………4分（2）由知∴在上递减 ………………8分∴，对恒成立，∴

………………12分21.如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.参考答案：解：因为CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∴∠OCP＝120°.在△POC中，由正弦定理得＝，∴＝，所以CP＝sinθ.又＝，∴OC＝sin(60°－θ).因此△POC的面积为S(θ)＝CP·OCsin120°

………………6分＝·sinθ·sin(60°－θ)×＝sinθsin(60°－θ)＝sinθ(cosθ－sinθ)＝[cos(2θ－60°)－]，θ∈(0°，60°).

所以当θ＝30°时，S(θ)取得最大值为.……………12分22.已知Sn=na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an．（1）若{an}是等差数列，且S1=5，S2=18，求an；（2）若{an}是等比数列，且S1=3，S2=15，求Sn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8F：等差数列的性质；8G：等比数列的性质．【分析】（1）设数列{an}的公差为d，由已知求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；（2）设数列{an}的公比为q，由已知求出首项和公比，得到等比数列的通项公式，代入Sn=na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an．由错位相减法求得Sn．【解答】解：（1）设数列{