广东省深圳市梅山中学2022年高三数学文模拟试题含解析

广东省深圳市梅山中学2022年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设复数其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为A.

B.i

C.

D.i参考答案：A2.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（

）A．72

B．96

C．108

D．144参考答案：C3.设函数f（x）=，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2t2+at，则正实数a的最小值是(

)A．2B．C．D．参考答案：B考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞2时，才会存在一一对应．解答： 解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R，∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2t2+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1（因为2a2t2+at＞0），所以：f（x）＞2，解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，∴2a2t2+at＞1，t∈（1，+∞），且a＞0，所以有：（2at﹣1）（at+1）＞0，解得：t＞或者t＜﹣（舍去），∴≤1，∴a≥，故选：B点评：本题主要考查了分段函数的应用，本题关键是可以把2a2t2+at当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于t的函数．4.已知x，y满足，且目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a的值是（）A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得a的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知A（a，a），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（a，a）时直线在y轴上的截距最小，z最小，z的最小值为2a+a=3a=1，解得：a=．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]＝2；[2.1]＝2；[－2.2]＝－3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]＋…＋[log264]的值为()A．21

B．76

C．264

D．642参考答案：C略6.五名志愿者去四个不同的社区参加创建文明城市的公益活动，每个社区至少一人，且甲、乙不能分在同一社区，则不同的分派方法有

（

）

A．240种

B．216种

C．120种

D．72种参考答案：B略7.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C8.若数列满足，则称数列为调和数列。已知数列为调和数列，且，则（

）A10

B20

C30

D40参考答案：B9.给出下列三个等式：，，，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（

）A． B． C．

D．参考答案：D10.己知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=2，则双曲线的离心率e为（）A．2B．C．D．参考答案：C考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出y2=4x的准线l：x=﹣，由C与抛物线y2=4x的准线交于A，B两点，|AB|=2，从而得出A（﹣，1），B（﹣，﹣1），将A点坐标代入双曲线方程结合a，b，c的关系式得出出a，c的关系，即可求得离心率．解答：解：∵y2=4x的准线l：x=﹣，∵双曲线与抛物线y2=4x的准线l：x=﹣交于A，B两点，|AB|=2，∴A（﹣，1），B（﹣，﹣1），将A点坐标代入双曲线方程得，∴3b2﹣a2=a2b2，?a2=（3﹣a2）b2即a2=（3﹣a2）（c2﹣a2），?．则双曲线的离心率e为．故选C．点评：本题考查双曲线的性质和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数满足若当，时，取得最小值，则的取

值范围是________.参考答案：试题分析：直线和的交点坐标为，直线和的交点坐标为，直线和的交点坐标为，将分别代入可得，，，，由于当，时，取得最小值，则，，故答案为.考点：简单的线性规划.12.如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为

．参考答案：13.等差数列，的前项和分别为和，若，则

．参考答案：14.设圆的切线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点，当取最小值时，切线的方程为________________。参考答案：设A,B的坐标为，则AB的直线方程为，即，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理得，即，所以，当且仅当时取等号，又，所以的最小值为，此时，即，此时切线方程为，即。15.已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为

.（结果精确到）参考答案：任意摸出个球恰好是白黑的概率为。16.设是R上的奇函数，且=,当时，,则等于__________

参考答案：17.已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为.以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为______.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，以坐标运点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为。（1）求直线和曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线的距离的最值。参考答案：19.已知函数，。（1）若直线是曲线与曲线的公切线，求。（2）设，若有两个零点，求的取值范围。参考答案：对函数求导，得，对函数求导，得。设直线与切于点，与切于。则在点处的切线方程为：，即。在点处的切线方程为：，即。……2分这两条直线为同一条直线，所以有………………3分由（1）有，代入（2）中，有，则或。…………4分当时，切线方程为，所以。…5分当时，切线方程为，所以。…6分（2）。求导：，显然在上为减函数，存在一个，使得，且时，，时，，所以为的极大值点。由题意，则要求。…………8分由，有，所以，…………9分故。令，且。，在上为增函数，又，要求，则要求，…………10分又在上为增函数，所以由，得。综上，。…………12分

【考点】导数的几何意义，导数的应用。20.若函数在区间上的最大值为2，将函数图象上所

有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标保持不变），再将图象上所有的点向右平移个单位，得到函数的图象．

（1）求函数解析式；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，又，△ABC的面

积等于3，求边长a的值，参考答案：略21.已知函数其中为常数,设为自然对数的底数.(1)当时,求的最大值;(2)若在区间上的最大值为-3,求的值;(3)当时,推断方程是否有实数解.参考答案：解:(1)当时,,.当时,;当时,.在上是增函数,在上是减函数..(2)

①若,则,从而在上是增函数,.不合题意.②若,则由得;即,由,得:,即.从而在上是增函数,在上是减函数.,令,则,,即.为所求.③由①知当时,,.又令,令,得.当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减.,即,方程没有实数解22.已知函数f（x）=（mx2﹣x+m）e﹣x（m∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，证明：不等式f（x）≤在（0，1+]上恒成立．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性，问题转化为≥（1+）（2+），令g（x）=ex﹣x（x+1），x＞1，则g′（x）=ex﹣（2x+1），令h（x）=ex﹣（2x+1），x＞1，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣（x﹣1）e﹣x，（1）m=0时，则f′（x）=（x﹣1）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1]递减，在（1，+∞）递增；（2）m＜0时，令f′（x）＜0，则1+＜x＜1，令f′（x）＞0，则x＜1+或x＞1，故f（x）在（﹣∞，1+]和（1，+∞）递增，在（1+，1）递减；（3）m＞0时，令f′（x）＜0，则x＜1或x＞1+，令f′（x）＞0，则1＜x＜1+，则f（x）在（﹣∞，1]和（1+，+∞）递减，在（1，1+）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，m＞0时，f（x）在（0，1]递减，在（1，1+）递增，x∈（0，1]时，f（x）=＜≤＜m≤，x∈（1，1+）时，f（x）＜f（1+）=（2m+1），=，下面证明（2≤，即证≥（1+）（2+），令g（x）=ex﹣x（x+1），x＞1，则g′（x）=ex﹣（2x+1），令h（x）=ex﹣（2x+1），x＞1，则h′（x）=ex﹣2＞0，故h