安徽省安庆市三桥高级职业中学2022年度高三数学理测试题含解析

安徽省安庆市三桥高级职业中学2022年度高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=若|f（x）|+a≥ax，则a的取值范围是（）A．[﹣2，0） B．[0，1] C．（0，1] D．[﹣2，0]参考答案：D【考点】分段函数的应用．【分析】①当x≤1时，f（x）|+a≥ax，化简为x2﹣4x+3+a≥ax，分离参数a，利用恒成立思想可求得a≥﹣2；②当x＞1时，|f（x）|+a≥ax化简为lnx≥a（x﹣1），作图，由函数图象可知a≤0，从而可得答案．【解答】解：①当x≤1时，f（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≤0，所以|f（x）|+a≥ax，化简为x2﹣4x+3+a≥ax，即a（x﹣1）≤x2﹣4x+3=（x﹣1）2﹣2（x﹣1），因为x≤1，所以a≥x﹣1﹣2恒成立，所以a≥﹣2；②当x＞1时，f（x）=lnx＞0，所以|f（x）|+a≥ax化简为lnx≥a（x﹣1）恒成立，如图：由函数图象可知a≤0，综上，当﹣2≤a≤0时，不等式|f（x）|+a≥ax恒成立故选：D2.若的（

）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件参考答案：B略3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，且EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】分别取棱、、、、的中点、、、、，证明平面平面，从而动点的轨迹所形成的区域是平面，再求面积得解.【详解】如图，分别取棱、、、、的中点、、、、，则，，，平面平面，点在正方体内部或正方体的表面上，若平面，动点的轨迹所形成的区域是平面，正方体的棱长为1，，，到的距离，动点的轨迹所形成的区域面积：．故选：．【点睛】本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．4.已知函数有两个极值点，且，则直线的斜率的取值范围是A. B.C. D.参考答案：A5.已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意画出图形，可得，两边平方后结合隐含条件得答案．【详解】如图，由题意可得，，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）＝c2，则2a2＝3c2，∴，即e．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到的函数图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的橫坐标之和等于(

) A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：D考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：压轴题；数形结合．分析：y1=的图象由奇函数y=﹣的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．解答： 解：函数y=﹣的图象按向量=（1，0）平移之后得到函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图：当1＜x≤4时，y1＜0，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H，相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D，且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8，故选：D．点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．7.函数，集合，，则右图中阴影部分表示的集合为

（

）A.

B.

C.D.参考答案：D8.复数在复平面内的对应点到原点的距离为A．

B．

C．1

D．参考答案：B9.已知i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）=3+2i，则z=（）A．+ B．﹣﹣ C．+ D．﹣﹣参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=3+2i，∴z（1﹣i）（1+i）=（3+2i）（1+i），∴2z=1+5i，则z=，故选：A．10.函数图象的对称轴方程可能是（

）A． B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（2015?兰山区校级二模）函数f（x）=2ax+1﹣3（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标是．参考答案：（﹣1，﹣1）【考点】：指数函数的单调性与特殊点．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用a0=1（a≠0），取x=﹣1，得f（﹣1）的值，即可求函数f（x）的图象所过的定点．解：当x=﹣1时，f（﹣1）=2a1﹣1﹣3=﹣1，∴函数f（x）=2ax+1﹣3的图象一定经过定点（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）【点评】：本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点．12.对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.给出以下4个函数:①f(x)=ex;②f(x)=x3;③f(x)=cosx;④f(x)=lnx+1.其中存在“稳定区间”的函数有(填上所有符合要求的序号).参考答案：②③略13.设是如图定义在区间上的奇函数，令，并有关于函数的五个论断：①若，对于内的任意实数，

恒成立；②若，则方程=0有大于2的实根③函数的极大值为，极小值为；④若，则方程必有3个实数根；其中所有正确结论的序号是________参考答案：（1）（2）略14.记cos（﹣70°）=k，那么tan110°等于

．参考答案：﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：已知等式变形表示出cos70°，利用同角三角函数间的基本关系表示出sin70°，进而表示出tan70°，即可表示出所求式子．解答： 解：∵cos（﹣70°）=cos70°=k，∴sin70°=，tan70°=，则tan110°=﹣tan70°=﹣，故答案为：﹣点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．15.（5分）已知集合A={x|0＜x＜}，则A∩Z=．参考答案：{1，2}【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合A与整数集的交集即可．解：∵A={x|0＜x＜}，∴A∩Z={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16.已知函数，若，则的值是_____________。参考答案：117.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为______.参考答案：6【分析】根据正弦定理化简题目所给表达式，求得的值，由此求得的大小，根据三角形的面积公式得到，利用基本不等式和余弦定理求得的最小值，进而求得的最小值.【详解】由，得，即，因为，所以，所以，所以.由，得，（当且仅当时，“”成立），则，可得，故.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查利用基本不等式求和的最小值，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设，求证：，等号当且仅当时成立.参考答案：由柯西不等式，得．将上式两边同时乘以，再将两边同时加上，有，即，所以，．由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当时成立．19.已知向量=（sinx，cosx），=（cos（x+）+sinx，cosx），函数f（x）=?．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0，）且cos（α+）=，求f（α）．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）根据平面向量数量积的坐标表示与三角恒等变换，化简f（x），求出它的增区间；（Ⅱ）利用二倍角公式化简f（α），再根据同角的三角函数关系，即可求出f（α）的值．【解答】解：（Ⅰ）向量=（sinx，cosx），=（cos（x+）+sinx，cosx），∴f（x）=?=sinxcos（x+）+sin2x+cos2x=sinxcosxcos﹣sinxsinxsin+1=sinxcosx﹣sin2x+1=sin2x﹣?+1=（sin2x+cos2x）+=sin（2x+）+，…4分令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；…6分（Ⅱ）由f（α）=sin（2α+）+=sin（α+）cos（α+）+，…8分又，且，∴sin（α+）==，…10分∴f（α）=×+=+．…12分20.（12分）在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．⑴证明：平面ACD⊥平面ABC；⑵Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q-ABP的体积．

参考答案：

解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足为E，则．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥的体积为．

21.一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表 学生A1A2A3A4A5数学8991939597物理8789899293（1）要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率． （2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求出这些数据的线性回归直线方程． 参考公式回归直线的方程是：y=bx+a， 其中对应的回归估计值．b=，a=﹣b． 参考答案：【考点】线性回归方程． 【专题】应用题；概率与统计． 【分析】（1）用列举法可得从5名学生中任取2名学生的所有情况和其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况包含的事件数目，由古典概型公式，计算可得答案． （2）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图；根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程． 【解答】解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）、（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）共种情10况． 其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况有：（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、（A5，A2）、（A5，A3）共7种情况， 故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成