第6章 狭义相对论

第六章狭义相对论SpecialTheoryofRelativity(2013.06.05)1第六章狭义相对论Albert·Einstein阿尔伯特·爱因斯坦(1879—1955)2第六章狭义相对论任何物理规律都是相对于一定参考系表述出来的。我们讨论了经典电动力学的基本理论和有关规律，但是讨论的范围限于“静止”介质中的电磁场。本章讨论动体的电动力学。电动力学的几个遗留问题：第一麦克斯韦方程组的参考系问题。第三如果运动是相对的，那么磁场与电场就应该是相对的。与运动无关的电磁量是什么?第二电磁波动与机械波动的差异。3第六章狭义相对论相对论主要是关于时间、空间和物质的理论。是现代物理学的主要理论基础之一。局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系和包括引力场在内的理论称为广义相对论。（近来相对论界的普遍观点是把狭义和广义相对论的分界线定义在平直时空和弯曲时空之间）。狭义相对论包括的主要内容：（1）惯性参考系之间的洛伦兹变换及其物理意义。（2）物理规律在任意惯性系中可表示为相同形式，即物理规律的协变性。（3）把电动力学规律表述为协变形式。（4）把力学基本规律推广为协变性的相对论力学。4第六章狭义相对论牛顿力学热力学与经典统计理论经典物理学三大理论体系使经典物理学已趋于成熟§1狭义相对论的实验基础1.相对论产生的历史背景麦氏电磁场理论和波动光学德国物理学家普朗克(1858～1947)年轻时曾向他的老师、德国物理学家冯・约里(1809～1884)表示要献身物理学，但老师却劝他说：“年轻人，物理学是一门已经完成了的科学，不会再有多大发展了。将一生献给这门科学，太可惜了。”患开尔文、冯・约里等人类似的病的人还有：德国物理学家劳厄(1879～1960)、美国物理学家迈克尔逊(1852～1931)等。劳厄说，经典物理和经典力学已“结合成一座具有庄严宏伟的建筑体系和动人心弦的美丽殿室”；而迈克尔逊则说“绝大多数重要的基本原理已经牢固地确立起来了，下一步的发展看来主要是把这些原理认真地利用”。

5第六章狭义相对论惯性系：相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系称为惯性系。事件：事物的发展变化、运动可看作是一连串事件在时空中的变化过程。在一个参考系中，通常用三个空间坐标和一个时间坐标来描述一个确定的事件p(x,y,z,t

)

。所有时空点的集合构成闵可夫斯基空间。6第六章狭义相对论伽利略相对性原理（力学相对性原理）：力学运动定律从一个惯性系变换到另一个惯性系时，运动定律的形式保持不变。也就是说，一切机械运动对惯性系是等价的。伽利略相对性原理在宏观、低速的范围内，是与实验结果相一致的。p=(x,y,z,t)=(x’,y’,z’,t’)x,x’0’0zz’y∑y’∑’∑系：{x,y,z,t}∑´:{x',y',z',t')7第六章狭义相对论p=(x,y,z,t)=(x’,y’,z’,t’)x,x’0’0zz’y∑y’∑’伽利略变换牛顿定律满足伽里略变换8第六章狭义相对论事件1和事件2在两个惯性参考系中的时空坐标∑系中的时间间隔由伽利略变换有∑´系中的时间间隔即两个事件的时间间隔在两个惯性参考系中相同。经典力学认为事物发展的进程在任何惯性参考系中都相同9第六章狭义相对论由伽利略变换有测量长度要求得事件1和事件2在两个参考系中的时空坐标∑系中的空间间隔∑´系中的空间间隔即两个事件的空间间隔在两个惯性参考系中相同。经典力学认为事物发展的间距在任何惯性参考系中都相同10第六章狭义相对论经典（牛顿）时空观“时间和空间是分别独立、不相联系的。空间距离和时间间隔都不随参考系的选择而改变。独立于物质和物质运动的绝对时间均匀流逝。由绝对刚体保证的空间两点长度，在任何参考系中都是绝对相等的。即不存在受运动状态影响的时钟和直尺。”“在所有惯性系中，物体运动所遵循的力学规律是相同的，具有相同的数学表达形式。或者说，对于描述力学现象的规律而言，所有惯性系是等价的。”绝对时空和绝对质量构成了经典物理学的公理基础。11第六章狭义相对论1876年麦克斯韦创立电磁理论，但发现电磁运动规律不满足伽利略协变性依据经典时空观，伽利略速度叠加原理要求电磁波只能够对一个特定的参考系的传播速度为c，因而麦氏方程也就只能对该参考系成立。那么经典力学中一切惯性系等价的相对性原理对电磁现象就不成立，由电磁规律可以确定一个特殊的参考系，即绝对参考系，相对于绝对参考系的运动称为绝对运动。12第六章狭义相对论当时人们认为既然声波、水波等机械波，都是在某种介质中的机械振动的传播现象，电磁波也应该是某种充满空间的弹性媒质内的波动现象。该弹性介质就构成电磁波传播的特殊参考系，电磁波传播速度c是对以太这一特殊参考系而言的。也就是说，以太就是那个经典时空观中的绝对参考系。为了找出或证明这个绝对空间的存在，迈克尔逊和莫雷于1887年利用灵敏的干涉仪，企图测定沿地球不同方向传播的光速的差异，进而确定地球的绝对运动。13第六章狭义相对论2.相对论的实验基础迈克尔逊—莫雷实验如果能够精确测定各个方向光速的差异，就可以确定地球相对于绝对参考系的运动，或者说相对于以太的运动。假设太阳相对于以态静止，地球以30千米/秒的速度绕太阳运动，在略去地球自转及其他不均匀运动所引起的偏差后，地球的运动在实验持续的时间内可以看做是匀速直线运动，因而地球可看作是一个惯性系统。实验时先使干涉仪的一臂与地球的运动方向平行，另一臂与地球的运动方向垂直，按照经典的理论，在运动的系统中，光速应该各向不同，因而可看到干涉条纹；再使整个仪器转过π/2，就应该发现条纹的移动。14第六章狭义相对论实验装置:

迈克尔逊干涉仪SlMlM1M2T15第六章狭义相对论说明：由光源S发出的光线在半反射镜M上分为两束，一束通过M，被M1反射回到M，再被M反射而达到目镜T；另一束被M反射到M2，再反射回M而直达目镜T。调整两臂长度使有效光程为MM1=MM2=l。设地球相对于以太的绝对运动速度v沿MM1方向，则由于光线MM1M与MM2M的传播时间不同，因而有光程差，在目镜T中将观察到干涉效应。16第六章狭义相对论经典速度合成按经典速度合成法则，当地球相对于以太的速度为v运动时，地球上发出的沿任意方向传播的光速u与相对于以太参考系的光速c之间应满足解出u17第六章狭义相对论地球观察者所看到的沿方向传播的光速为地球观察者所看到的逆方向传播的光速为地球观察者所看到的垂直于方向传播的光速为18第六章狭义相对论光线MM1M的传播时间光线MM2M的传播时间两束光线的时间差为19第六章狭义相对论

当把仪器绕竖直轴顺时针旋转π/2，则MM2变成沿地球运动方向，MM1变为垂直于地球运动方向。两束光总的光程差为Δ′=-Δ，两种情况总光程差为两束光传播距离相同，如果速度不同，则存在光程差在目镜中应该观察到静态的干涉效应。20第六章狭义相对论实验取：l=10米，λ=5×10-7米，v=3×104米/秒

c=3×108米/秒当光程差的改变量等于光波的一个波长时，就引起一条干涉条纹的移动，所以条纹移动的总数为实验观察到只有小到移动条纹的1/100，但从来也没有看到过0.4个条纹的移动。得到21第六章狭义相对论迈克尔逊—莫雷实验测不出条纹的移动，表明地球上沿各方向的光速相同，地球没有相对于以太的运动，进而否定了以太介质的存在，因而也就否定了绝对参考系的存在。(1)坚持麦氏电磁理论，放弃相对性原理。（洛伦兹）麦氏电磁理论+相对性原理=光速不变(2)坚持相对性原理，保留以态和绝对空间。（庞加莱）(3)坚持相对性原理和麦氏电磁理论，放弃伽里略变换。爱因斯坦认为电磁规律应该是普遍规律，电磁规律和力学规律一样都应遵守相对性原理，因此相对性原理和电磁规律都应保留，需要改造的是伽利略变换。以这两条作为基本假设，成功地建立了狭义相对论。22第六章狭义相对论物理学晴朗的天空中出现了两朵乌云

迈克耳逊-莫雷实验结果与光行差观测结果矛盾

黑体辐射实验结果与能量连续矛盾相对论力学量子力学19世纪末~20世纪初物理学的三大发现经典力学近代物理学的两大理论基础1895年发现X光1896年发现放射性1897年发现电子23第六章狭义相对论

1、狭义相对论的基本原理(1)狭义相对性原理一切物理规律，无论是力学的，还是电磁学的，对于所有惯性系都具有相同的数学形式。(2)光速不变原理在所有惯性系中，真空中的光速在任何方向上都恒为c，并与光源的运动无关。§2狭义相对论的基本原理洛沦兹变换(2013.06.07)24第六章狭义相对论光速不变原理与牛顿时空观相矛盾所有最基本的时空概念，如同时性、距离、时间和速度等都要重新加以讨论。25第六章狭义相对论在经典时空观中同时性是绝对的设在t=t‘=0时两个坐标系原点重合，此刻原点处发出一个闪光，1秒钟后闪光到达x轴上半径为c的球面上Σ：伽里略变换得即x′轴上两点接收到闪光仍为同时事件，即同时性是绝对的。Σ´:Δt=0即x轴上与原点对称的两点接收到闪光为同时事件。Δt′=026第六章狭义相对论在相对论时空观中同时性是相对的Σ´:

假设1秒钟后x´轴上这两点的时空坐标为即x′轴上接收到闪光为不同时事件。所以同时性是相对的。Σ：即x轴上两点接收到闪光为同时事件。Δt=027第六章狭义相对论2两事件的间隔∑：称为这两个事件在∑系中的间隔。可以证明，对两个惯性系，光速不变必然导致间隔不变称为这两个事件在∑´系中的间隔。∑´：28第六章狭义相对论所以无论两事件有何联系或毫无联系，均有间隔不变性∑：证明：假设两个事件分别为发光和收光即由光波联系的两事件间隔在不同惯性系中相同。若这两个事件用其他方式联系或毫无关系，由运动的相对性，有∑´：29第六章狭义相对论如果两事件彼此无限地接近，那么间隔为任意两个事件，不论它们是由光讯号联系，或由其它由讯号联系，或根本没有因果关系，间隔在所有惯性系里都是一样的，即当由一个惯性系变换到任何惯性系时，间隔不变。这是光速不变的数学表示。同理有间隔的微分形式30第六章狭义相对论同一地点相继发生的两个事件的间隔不同地点同时发生的两个事件的间隔31第六章狭义相对论例一（195页）解：设发出闪光为事件1，收到闪光为事件2。在Σ´中两个事件的时间间隔两个事件的空间间隔汽车系中两个事件的间隔SM∑∑′MvΔtSS′32第六章狭义相对论在Σ中观察，设两事件时间差为Δt，在这时间内光源已运动了光讯号传播满足两个事件的时间间隔两个事件的空间间隔两个事件的间隔由于所以33第六章狭义相对论3洛伦兹变换式

根据变换的线性要求和间隔不变性导出狭义相对论的时空坐标变换公式x0’0zz’y∑y’∑’x’对沿任意方向作匀速相对运动的两个惯性系的坐标变换34第六章狭义相对论对沿x轴方向作匀速相对运动的两个惯性系的坐标变换由于x轴正方向相同，时间轴正方向相同，应取x0’0zz’y∑y’∑’x’35第六章狭义相对论把这个新的变换关系代入间隔不变的关系中得到比较等式两边系数得36第六章狭义相对论由第一式和第三式得到这些系数都可以由相对速度v表示出来。在和观察的运动，有所以解出37第六章狭义相对论从而得到即得到Lorentz变换式为：38第六章狭义相对论根据运动的相对性，如果把该式中的v改成-v，就可得到逆变换的关系式：39第六章狭义相对论讨论（1）在相对论中，光速c具有极限速度的特征。当v>c时，γ变为虚数，时空坐标变换失去意义，当v=c时，γ无意义，这与目前为止实物粒子的实验事实相符合。只有真空中的光速等于c，即只有静质量为零的粒子才能以光速运动。40第六章狭义相对论（2）对v<<c，γ=1，则洛变换变为伽里略变换说明伽利略变换是洛仑兹变换在低速运动下的一个近似。（3）以上所得到的洛仑兹变换式，是在一种特殊的运动条件下所构成的时空变换关系，即∑′系相对于∑系沿x轴正方向运动，而且x′与x平行，如果

∑′系相对于∑系不是沿x正方向运动，那么以上洛仑兹变换式不能适用。41第六章狭义相对论（4）两个惯性系的互相表述——坐标轴时空图闵可夫斯基把相对论写成四维时空的形式，他把时间看作第四维空间，从而把时空看作一个整体，用简洁的形式重新表述了相对论。在四维时空中，任何一个事件都可以用其中的一个点来表示，这个点称为世界点。事件发展的过程，用四维时空中的轨迹线表示，称为世界线。xt各种世界线xt∑系的等时线和等地线t'x'∑′系的等时线和等地线42第六章狭义相对论三维欧氏空间线元四维欧氏时空线元四维闵氏时空线元一维空间和一维时间构成的二维闵氏时空的线元世界线线长与固有时成正比根据间隔不变性43第六章狭义相对论二维闵氏时空中两个惯性系的互相表述—坐标轴时空图xtt'轴：x'=0x-vt=0,t=x/vt'x'x'轴：t'=0t-vx=0,t=vx1）以∑为基准表述∑′在自然单位制下(c=1)洛变换44第六章狭义相对论xtt轴：x=0x'+vt'=0,t'=-x'/vt'x'x轴：t=0t'+vx'=0,t'=-vx'2）以∑′为基准表述∑在自然单位制下洛变换45第六章狭义相对论3）校准曲线pO在二维闵氏时空中与原点等距离的点的轨迹称为校准曲线，l0p=cxt闵氏时空中校准曲线是一条双曲线。双曲线上的点到原点的距离相同。这与欧氏空间完全不同。Q闵氏时空中的四维线元46第六章狭义相对论例2(198页)47第六章狭义相对论解:48第六章狭义相对论49第六章狭义相对论50第六章狭义相对论1.相对论时空结构考虑两个事件：O（0,0,0,0）和P（x,y,z,t

)两事件间隔间隔的分类两个事件的空间距离等于光波在时间t所传播的距离，如两事件是电磁信号联系的事件(2)两个事件的空间距离小于光波在时间t所传播的距离，如两事件是用小于光速联系的事件§3相对论时空理论(2013.06.12)51第六章狭义相对论(3)两个事件的空间距离超过了光波在时间t所传播的距离，如两事件是用大于光速联系的事件由于从一个惯性系到另外一个惯性系的变换中，间隔保持不变，所以间隔的这三种划分是绝对的，不因参考系变换而改变。这是相对论时空性质中的绝对性。为了说明问题的方便，把三种间隔用一个三维时空图形表示出来，事件用一个三维时空点P来表示。52第六章狭义相对论

P点在xy面上的投影表示事件发生的地点，P点的垂直坐标表示事件发生的时刻t乘以c。在四维时空中，任何一个事件都可以用其中的一个点来表示，这个点称为世界点。事件发展的过程，用四维时空中的轨迹线表示，称为世界线。四维时空的结构由三个区域组成，对应于上述三种情况。xytPo·53第六章狭义相对论54第六章狭义相对论时空区域的分类(1)若事件P与事件O的间隔是S2=0，则r=ct，因此P点在一个以O点为顶点的锥面上，这个锥面称为光锥。凡是光锥上的点，都可以与O点用光信号联系。这类型的间隔称为类光间隔。事件P:收短信事件o:发短信事件P:7:00:01三十万公里处出现流星事件o:7：00寝室开灯有因果关系的两个类光事件的间隔无因果关系的两个类光事件的间隔xyct·Po45o55第六章狭义相对论(2)若事件P与事件O的间隔是

S2>0，则r<ct

，因而P点在光锥之内。凡是光锥内的点，都可以与O点用小于光信号的速度联系。这类型的间隔称为类时间隔。事件P：终点冲刺事件o：短跑发令枪响事件P：0:05:00寝室外树叶落地事件o：0:00:00寝室关灯有因果关系的两个类时事件的间隔无因果关系的两个类时事件的间隔xyct·Po45o56第六章狭义相对论(3)事件P与事件O的间隔S2<0，则r>ct

，因而P点在光锥之外。这时P点不可能与O点用光信号或低于光信号的传播速度的作用相联系。这类型的间隔称为类空间隔。

事件P：

0:00:01美国凤凰号在火星着陆事件o：0:00:00寝室关灯两个事件的间隔的划分是绝对的，不因参考系而转变。xyct·Po45o57第六章狭义相对论概括起来，事件P相对于事件O的时空关系可作如下的绝对分类：(1)类光间隔S2=0P点在光锥面上。(2)类时间隔S2>0a)绝对将来，即P在O的上半光锥内。b)绝对过去，即P在O的下半光锥内。(3)类空间隔S2<0P与O绝对异地，P点在光锥之外。类时间隔和类空间隔是两个截然不同的时空关系。58第六章狭义相对论设两事件∑系

2因果律对信号速度的限制如果两个事件有因果关系，那么两事件的先后次序应该是绝对的，不容颠倒。正确的时空观必须反映事物发展的绝对因果性。如播种必在收获之先，人的死亡必在出生之后，收短信在发短信之后等。因果关系的绝对性反映了事物发展变化的客观事实，与参考系的选择无关。由Lorentz变换得∑´系59第六章狭义相对论即如果在∑系中两事件有因果关系，且t2>t1，由于它们的秩序在另一惯性系中不可颠倒，即t2-t1与t2′-t1′必须同号，所以要求即60第六章狭义相对论∑系中信号或粒子传播的速度为则有式中v是两惯性系之间的相对速度，由于参考系必须固定在物体上，所以v也是信号或粒子传播的速度，这时相对论要求u<c属类时间隔的两因果事件的绝对性要求所有物体运动速度和信号传递速度都不能超过光速c。这与目前的实验事实相吻合。61第六章狭义相对论50亿光年6500万光年5000光年50亿年：太阳系诞生6500万年：恐龙灭绝5000年：人类文明诞生v>c62第六章狭义相对论3同时的相对性现在考察具有类空间隔的两个事件1和2∑系

∑′系由有63第六章狭义相对论即具有类空间隔的两个事件，由于不可能发生因果关系，其时间次序的先后，或者同时，都没有绝对意义，因不同参考系而不同。若在∑系中两事件同时t2=t1，则t2-t1=0则只要在∑系中两事件异地x2≠x1，则64第六章狭义相对论同时相对性时空图xtt'x'65第六章狭义相对论例：同时异地发生的两个事件的间隔小于零，属类空间隔，两事件不可能有因果关系，所以同时概念必然是相对的，只能是在高速和广延范围显现。∑´系中为不同时的事件

∑系中同时异地事件

66第六章狭义相对论后门前门车子O.∑O’.∑’地面

一辆作匀速运动的车子，其前后两门皆用光信号控制其开和关。车上的观察者看到前后们同时开关，车下的观察者看到前后们不同时开关。67第六章狭义相对论同时相对性的时空图p1p2Op1p2Op1p2O∑系中的同时线

∑′系中的同时线

∑系和∑′系中同时相对性

68第六章狭义相对论对钟的时空图C2C14运动时钟的延缓—时间间隔的相对性xyC2C1在不同的惯性系中观察同一物质运动过程所经历的时间是否相同？同一参考系对钟问题不同参考系对钟问题xyy′C'C2C1x′69第六章狭义相对论设在∑′系中有一静止时钟，在同一地点先后两次看钟为两个同地不同时事件，其时间差称为固有时∑′系中两个事件的间隔为xyy′C'C2C1x′∑系内这两个事件的间隔为70第六章狭义相对论令由间隔不变性得即运动时钟延缓了，或称爱因斯坦延缓。71第六章狭义相对论宇航员乘坐速度为0.9999624C的宇宙飞船飞行，他的一日相当于地球上的一年，所以当这位宇航员长了一岁，我们已经老了365岁了。据此通过坐飞机来长寿，理论上是可行的，只是效果太微弱了。根据计算，如果一个人一年都在飞机上飞行，他可以赚得5微秒。假设他活了80岁，从出生就在飞机上这样生活，当80岁死去时一共可以赚得400微秒，即0.0004秒。80年的飞行才赚得连一眨眼都不到的时间，实在是有点得不偿失。讨论(2012.06.21)（1）时钟延缓效应是真实的；运动时钟比静止时钟走得慢。接近光速时，运动时钟趋于停止(Δt→∞)。时钟延缓效应只依赖于速度，而不依赖于加速度。72第六章狭义相对论（2）当局限于惯性运动时，时钟延缓效应是相对效应x,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1τl/vx,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1τl/v

参考系∑上看到固定于∑′上的时钟变慢；同样，参考系∑′上看到固定于∑上的时钟变慢。在动钟变慢的效应中，总是用一个钟（动钟）和一系列钟（静钟）比较，变慢的一定是那个单一的钟。

73第六章狭义相对论时钟延缓效应时空图x,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1τl/vxtt'C2C1C'abx'oc∑系看动钟慢了lob<lcb74第六章狭义相对论ed∑′系看动钟也慢了lob>ldbδxtt'C2C1C'bx'ocx,x′yy′C'C2C1x,x′yy′C'C2C1l/v-δδl/v75第六章狭义相对论76第六章狭义相对论（3）在有非惯性运动时，时间延缓导致绝对的物理效应。双生子佯谬一对孪生兄弟A和B

，其中B跨上宇宙飞船作太空旅行，而A则留在地球。结果当旅行者回到地球后，我们发现B比留在地球的兄弟A更年青。根据运动的相对性，从B的角度看A更年青。到底谁更年轻？txpqAB1、在狭义相对论层次解决

忽略B运动的加速过程，把B的来回看作惯性运动，这时B离开A的运动等价于B不动A离开B的运动，两人都认为对方比自己年轻。之所以出现好象矛盾的结论，是因为两人处于不同的惯性系中，各用各的钟，B的时间观念不等于A时间观念。77第六章狭义相对论根据世界线的性质，世界线长度正比于质点经历的固有时间。比较A和B的寿命就是比较A和B的世界线长。这个结论是绝对的，是时空几何决定的，与参考系的选择无关。txpqABA的世界线

B的世界线

2、在广义相对论层次解决

78第六章狭义相对论5、运动尺度的缩短—空间距离的相对性测量物体的长度往往就是用一根尺子去和物体比较，看物体的两端与尺子上哪两点重合，关键在于必须对物体的两个端点进行同时测量。测量物体每一端的坐标都是一个事件，同时测量意味着是同时事件。固有长度xyy′vx′x´1x´2运动长度xyy′vx′x1x279第六章狭义相对论

根据Lorentz变换式两式相减，即得80第六章狭义相对论由于测量要求t2-t1=0，故有即即运动着的尺比静止的尺短，相对论的这个结果称为Lorentz收缩。81第六章狭义相对论讨论(1)运动尺度缩短了，趋于光速时，尺度缩短为零；运动尺度缩短是一种时空效应，构成尺子的原子结构和原子内部的电荷分布没有发生任何变化。(2)如果物体是任意形状的，只有沿运动方向的长度有上述的缩短，如立方体体积变小。(3)长度缩短效应也是相对的。82第六章狭义相对论运动尺度收缩的时空图xoat'tx'b静尺长度动尺长度尺头尺尾无论从哪一个惯性系看，运动尺一定会产生Lorentz收缩。83第六章狭义相对论车库佯谬库门库墙t'x'车头车尾

设汽车与车库静长相等。汽车匀速进库时，司机想“动库变短，车放不下”；司库想“动车收缩，放下有余”，司机的想法对还是司库的想法对?使用4维几何语言可获得清晰的认识。两人看法都对，关键是同时性的相对性导致结论的相对性。司库同时面司机同时面校准曲线oabcd以司库所在惯性系的同时面衡量，车短于库，放下有余以司机所在惯性系的同时面衡量，车长于库，不能放下84第六章狭义相对论6、速度变换式假定∑′系相对于∑系以速度v沿着x轴正方向运动，设粒子(∑")相对于∑系、∑′系的速度分别为利用洛仑兹正变换以及其变换是线性的性质，微分得到x,x′∑∑′vuu′∑″x″85第六章狭义相对论用dt′去除dx′

，dy′

，dz′

，则得86第六章狭义相对论同理得有87第六章狭义相对论88第六章狭义相对论讨论v是∑′系相对于∑系沿x轴正方向的速度；u是粒子（∑″系）相对于∑系的速度；u′是粒子（∑″系）相对于∑′系的速度；要使用速度变换式，必须要有三个客体存在，即两个观察者∑和∑′，以及一个运动实体（∑″系）。(1)区分三种不同的速度(2)在非相对论极限下c→∞，速度变换式将过渡到经典力学中速度变换式，即x,x′∑∑′vuu′x″∑″89第六章狭义相对论（3）当u′<c，v<c时，可以证明必有这说明不可能把牵连速度和相对速度加起来，使它们的合成速度在某一惯性系得出大于c的结论。u<c综上所述，相对论的时空性质不承认普适的时间与不变的空间，而认为不同的惯性系有不同的尺和钟。在这个意义上它的时空是“相对”的，但这种相对性并不意味着任何主观任意性。归根到底，它只不过是光速不变性这一客观事实的反映，光速不变性还规定了事件间的“间隔”是绝对的，不随参考系而异，这就是狭义相对论时空观中相对和绝对的统一。90第六章狭义相对论例题1（P208）证明若物体相对于一个参考系的运动速度u<c，则对于所有参考系亦有u′<c。证明：设物体在dt时间内发生了位移，由间隔不变性有由得91第六章狭义相对论x,x’0’0zz’y∑y’∑’例题2（P208）解:在∑′上观察,介质中的光速沿各方向都等于c/n,沿介质运动方向的光速如果v<<c,得沿介质运动方向的光速92第六章狭义相对论逆介质运动方向的光速93第六章狭义相对论例题3用速度变换式证明光速不变原理。证明：设光子从∑′系发出沿x′方向运动，速度为则光子相对于∑的速度为ΣΣ´vxx´94第六章狭义相对论例题4两束电子迎面相对运动，每束电子相对于实验室的速度为0.9c，求相对于一束电子静止的观测者观察另一束电子的速度。证明：设实验室系为∑，向x

正方向运动的电子为∑′系，向x

负方向运动的电子为∑″系，则两束电子相对速度为∑∑′∑″v-v95第六章狭义相对论例题5设在6000米高层大气边缘产生一个静止寿命为Δτ=2×10-6S的μ子。如果μ子以v=0.998c的速度飞向地球，试分别在地球参考系和μ子参考系中计算它是否能飞跃大气层到达地面。解:选择地球参考系为Σ,μ子参考系为Σ´。Σ′Σ´vxx´96第六章狭义相对论（1）在地球参考系，由于运动时钟延缓效应，测得μ子寿命在地球参考系，它能飞越的距离为因而μ子能穿越大气层。97第六章狭义相对论（2）在μ子参考系μ子静止，地球到μ子之间的大气层向μ子奔来，其有生之年能“穿越”的大气层厚度为由于尺度缩短效应，μ子测得大气层厚度收缩为因而μ子能穿越大气层。

μ子能穿越大气层这一事实，在地球参考系描述为μ子的寿命延长；在μ子参考系则描述为大气层厚度变薄，两者从不同角度描述同一个事实，但得出的结论是一致的。98第六章狭义相对论例题6

(习题6.2)解：实验室系∑；1尺系∑′；2尺系∑″在1尺上测得2尺的速度在1尺上测得2尺的长度∑∑′∑″v-v99第六章狭义相对论例题7(习题6.3)解：实验室系∑；小车系∑′；小球系∑″。∑′系中球抛出到碰壁的空间差和时间差由洛仑兹变换得地面测得的小球运行时间为∑∑′∑″100第六章狭义相对论例题8(习题6.6)

解：实验室系∑；观察者系∑′；物体系∑″在物体系∑″看物体固有长度观察者系∑′测得这两个物体的速度∑∑′∑″∑″uv观察者测得两个物体的距离101第六章狭义相对论§4相对论理论的四维形式(2013.06.26)相对性原理要求任何物理规律在不同的惯性系中形式相同。而牛顿运动方程和电磁规律的矢量表示不满足洛仑兹变换下不变的要求。因此，我们要对牛顿力学规律和电磁运动规律的表述形式加以修改，使它们满足相对论的协变性要求。102第六章狭义相对论1、三维空间的正交变换二维空间中任一点P在坐标转动中的变换xx´yy´OPθθ103第六章狭义相对论变换关系满足上式的二维平面上的线性变换称为正交变换。OP长度的平方为104第六章狭义相对论

二维平面矢量在坐标系转动下的变换任意平面矢量变换关系满足正交变换条件

任意矢量的变换与坐标变换具有相同的形式105第六章狭义相对论三维坐标系转动三维坐标线性变换转动时距离保持不变满足上式的线性变换称为三维空间的正交变换。空间转动属于正交变换。106第六章狭义相对论正交变换条件利用利用爱因斯坦规则，变换式可作简写有107第六章狭义相对论注意所以比较两边得正交变换条件有引入符号108第六章狭义相对论反变换式由得反变换109第六章狭义相对论矩阵形式定义转置矩阵变换系数可以写成矩阵形式则有110第六章狭义相对论111第六章狭义相对论

标量与坐标变换无关，设在∑系中某标量用u

表示，在∑′系中用u′表示，由标量不变性得到：2、物理量按空间变换性质分类物理量分为标量、矢量和张量。这种分类是根据物理量在空间转动下的变换性质来规定的。(1)标量（零阶张量，三维空间中有30个分量）若一物理量在空间中没有取向关系，仅用一个数描述。当坐标系转动时，物理量保持不变，则称此量为标量，或零阶张量。如质量、电荷和温度等都是标量。112第六章狭义相对论若一物理量在空间中有取向性，它由三个分量表示。当空间转动时，分量按与坐标变换相同的变换规则变换，则称此量为矢量，或一阶张量。如电场强度、速度、力和动量等。(2)矢量（一阶张量，三维空间中有31个分量）哈密顿算符也具有矢量性质，其变换关系为113第六章狭义相对论(3)二阶张量（通常说的张量,三维空间中有32个分量）若一物理量在空间的取向比较复杂，需要用九个分量描述。每个分量由两个矢量指标表示，有九个分量，在从∑系变换到∑′系过程中，每一分量按与坐标变换相同的变换规则变换，即遵循具有这种变换关系的物理量称为二阶张量，如电电磁场张量、电四极矩张量等。114第六章狭义相对论对称张量对称张量变换后仍然是对称张量反对称张量反对称张量变换后仍然是反对称张量.115第六章狭义相对论张量的迹是一个标量无迹对称张量116第六章狭义相对论二阶张量可以分解为三部分张量的迹无迹对称张量反对称张量电四极矩就是一个无迹对称张量，只有五个独立分量。117第六章狭义相对论两个矢量的标积是一个标量一个张量和一个矢量的乘积是一个矢量据爱因斯坦规则，重复指标表示求和，称为指标收缩，不重复的指标称为自由指标，物理量有多少个自由指标，就可以判断它属于哪一类物理量。118第六章狭义相对论3、

Lorentz变换式的四维形式Lorentz变换式满足间隔不变形式上引入第四维虚数坐标三维坐标转动是满足距离不变的线性正交变换119第六章狭义相对论Lorentz变换是满足间隔不变性的四维线性正交变换Lorentz变换形式上可以看作四维空间的转动。因而三维正交变换的关系可以形式上推广到Lorentz变换中去。这四维空间的第四个坐标是虚数，称为复四维空间，它不同于实的四维欧几里得空间。构成四维闵可夫斯基空间，则间隔不变式表为或120第六章狭义相对论一个坐标取定的四维闵可夫斯基空间在物理上与一个惯性系对应。闵可夫斯基空间的一个转动变换用一个四维的正交变换矩阵表示，在物理上描述的是惯性系间的一次变换。121第六章狭义相对论

∑′系相对于∑系沿x轴正方向以速度v运动的特殊变换系数a的矩阵形式其中122第六章狭义相对论

逆变换系数a-1的矩阵形式为容易验证123第六章狭义相对论xx´ctct´OPθθ时钟延缓效应和长度缩短效应的几何意义124第六章狭义相对论4、四维协变量三维惯性参考系之间的变换相当于四维空间的转动变换。描述物质运动和属性的物理量会反映出时空变换的特点，故在四维空间中的物理量也应该按四维空间转动下的变换性质进行分类。(1)四维标量（四维空间中有40个分量）在Lorentz变换下不变的物理量称为洛伦兹标量。如间隔125第六章狭义相对论如果∑′系相对于∑系沿x轴方向匀速运动，质点相对于∑′静止由于间隔不变或126第六章狭义相对论(2)四维矢量（四维空间中有41个分量）具有四个分量的物理量Vμ，在坐标轴转动时，这些数的变换关系和坐标的变换关系相同，则称该物理量为四维矢量，即满足用矩阵表示为127第六章狭义相对论

由于四维矢量在坐标转动时是按Lorentz变换改变的，因此一个物理定律中的物理量若能用四维空间的张量表达，则此定律具有Lorentz协变性，即满足相对论要求。凡满足这个变换式的四个数都构成一个四维矢量，四维矢量的前三个分量是空间分量，第四个分量是时间分量。在四维空间中，四维哈密顿矢量算符为128第六章狭义相对论空间分量为时间分量为可见将四维速度写成如下形式四维速度四维速度129第六章狭义相对论参考系作Lorentz变换时，四维速度有变换四维速度的前三个分量和普通速度有关，当130第六章狭义相对论四维张量（4维空间中有42个分量）如果一个物理量Tμν变换满足关系则称该物理量为4维空间中的二阶张量，一共有16个分量。131第六章狭义相对论四维波矢量是一个不变量波动方程和解都是协变的，于是有在两个惯性系中分别为平面波的电磁场是二阶张量，满足132第六章狭义相对论考察两个事件xxx′x′133第六章狭义相对论在x′上的时空坐标(x′,t′)可用Lorentz变换求得，而相位同样是这是因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件，而相位只是记数问题，不应随参考系而变。由此可看到相位具有不变性，即134第六章狭义相对论引入k4=iω/c，故可将其组合成一个四维矢量，则135第六章狭义相对论由此得到一个四维波矢量它们满足Lorentz变换式136第六章狭义相对论137第六章狭义相对论设波矢量位于xoy平面内,k和x轴正方向的夹角为θ，k′和x′轴（x′轴与x轴平行）正方向的夹角为θ′，则有x′z′y′θ′θxyz138第六章狭义相对论由第四式看出这是相对论中的多普勒效应。（1）多普勒效应139第六章狭义相对论若∑′系为光源的静止参考系，则ω′=ω0，ω0为静止光源的辐射角频率，根据多普勒效应，得到运动光源辐射角频率为其中，v是光源的运动速度，θ为∑系上观察者看到辐射方向与光源运动方向的夹角。OO’vθα关于多普勒效应的讨论140第六章狭义相对论①当电磁波源离开观测者（v）时，射向观测者的电磁波θ=π

观测到的辐射频率小于静止光源的辐射频率，出现红移现象。OO′v141第六章狭义相对论②当电磁波源趋向观测者（v）时，射向观测者的电磁波θ=0

观测到的辐射频率大于静止光源的辐射频率，出现紫移现象。OO’v142第六章狭义相对论此式为相对论产生的横向多普勒效应，观测到的辐射频率小于静止光源的辐射频率，仍然出现红移现象。它是相对论时钟延缓效应的证据之一。③在垂直于电磁波源运动方向（v）观测（θ=π/2）OO′vαθ=π/2143第六章狭义相对论

当v<<c时，γ→1，得到运动光源的经典多普勒效应公式为即在经典理论中不存在横向多普勒效应。144第六章狭义相对论（2）光行差由Lorentz变换推出光行差公式这就是相对论中的光行差公式。

145第六章狭义相对论由Lorentz速度变换也能推出光行差公式这与用Lorentz变换推出光行差公式相同。

146第六章狭义相对论

光行差较早被天文学家Bradly于1728年所测到。如图所示。147第六章狭义相对论设地球相对于太阳参考系∑的运动速度为v，在∑系上看到某一恒星发出的光线的倾角为

在地球上用望远镜观察该恒星时，倾角为由于v<<c，故148第六章狭义相对论天文观测值光行差现象的观察

取观察者正上方的一颗恒星作理论计算，α=π/2149第六章狭义相对论恒星的光行差150第六章狭义相对论5、物理规律的协变性在惯性参考系变换下方程保持不变的性质称为协变性。设某方程具有形式若有则方程是协变的，满足相对性原理的要求。而只有把物理量表述成四维形式才有这样的可能。151第六章狭义相对论

所谓电磁规律的协变性是指，电磁运动方程，如电荷守恒定律、能量动量守恒定律、洛伦兹力密度、麦克斯韦方程和电磁波的波动方程等，在不同的惯性系中有相同的形式，即满足洛伦兹变换的不变性。本节将电流密度、电荷密度、电磁场强度、矢势标势、洛伦兹力和麦克斯韦方程表示成四维张量形式，使其在不同的惯性系中保持不变，从而证明电磁规律满足洛伦兹协变性。§5电磁规律的相对性理论(2013.06.28)152第六章狭义相对论电荷是一个洛仑兹标量，若相对某一惯性系静止若粒子处于运动状态，则体元有收缩为了保持电荷不变性，电荷密度应相应的增大1、四维电流密度矢量和电流连续性方程的协变式153第六章狭义相对论电流密度构造四维电流密度将电流密度矢量的意义扩充到包含静电荷密度ρ，即假定在某一惯性系中，J和ρ构成一个四维矢量154第六章狭义相对论Jμ是一个四维矢量，应该满足四维矢量变换关系即155第六章狭义相对论逆变换即156第六章狭义相对论

各分量为由其中最后一式得157第六章狭义相对论电流连续性方程的协变性这是一个不变量，因此，只要J和ρ一起构成一个四维矢量，它就是协变的，他反映出在相对论时空观下物理量的统一性。即158第六章狭义相对论(1)四维空间算符四维哈密顿算符电流连续性方程为电流散度达朗贝尔标量算符2、四维势矢量159第六章狭义相对论

麦克斯韦方程可以通过标势和矢势表示出来，在洛伦兹条件下，标势和矢势表为达朗贝尔方程洛伦兹条件为(1)四维势160第六章狭义相对论

通过四维算符，可将真空中的电磁场的势方程(达朗贝尔方程)写成即161第六章狭义相对论两式合并得在J和ρ一起构成一个四维矢量的启发下，推理标势φ和矢势A也应该能统一为一个四维矢量。定义四维矢量Aμ162第六章狭义相对论上式构成四维形式根据两边都是四维协变量应满足所以达朗贝尔方程在洛仑兹变换下是协变的。163第六章狭义相对论四维势满足协变关系164第六章狭义相对论标量方程是协变的洛仑兹规范条件的协变性165第六章狭义相对论3、麦克斯韦方程组的协变性(1)电磁场张量电磁场E，B用势表示为166第六章狭义相对论用四维势Aμ来表示E，B的各分量167第六章狭义相对论利用Aμ

的导数构造一个反对称四维二阶张量168第六章狭义相对论其矩阵形式为电磁场张量169第六章狭义相对论例如170第六章狭义相对论(2)麦克斯韦方程组的协变形式分量式首先考虑麦氏方程组的非齐次部分171第六章狭义相对论172第六章狭义相对论再考虑麦氏方程组的齐次方程分量式173第六章狭义相对论可合起来，写成四维协变形式174第六章狭义相对论由张量变换关系电磁场的变换关系式175第六章狭义相对论176第六章狭义相对论同理可得反变换177第六章狭义相对论

如果把电磁场按平行和垂直于相对运动速度