概率论与数理统计：第一节 随机变量

第二章随机变量及其分布随机变量第一节随机变量离散型随机变量及其分布律常见的离散型随机变量的分布第一章的内容，一句话概括：求事件A的概率！第一章我们干的事情：求各种各样奇奇怪怪事件A的概率。

本章，将用随机变量表示事件，以便于采用高等数学的方法描述，进而研究随机现象。在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示事件，并视之为样本空间

的子集；采用高等数学的方法描述随机事件的关键是：样本空间数量化

样本空间数量化之后，就可用数字来表示试验的结果。数量化

试验结果数量化，直接将试验结果与数建立了一个对应关系。试验结果的数量化数量化的优点：可以用数学方法和工具来研究随机现象

有些随机试验的结果本来就可以用数量来表示.(1)

在掷骰子试验中,结果用1,2,3,4,5,6来表示；例如:

掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定:用1表示“正面”，用0表示“反面”

有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化例如:(2)抽样中出现的废品数，X=i，i=0,1,2,…样本空间数量化随机变量的定义

设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点，均有唯一的实数X()与之对应，称X=X()为样本空间上的随机变量。一、随机变量数量化例

设箱中有5个球，其中有3个红球，2个黑球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。取球结果为:两个黑球;两个红球;一红一黑如果用X表示抽得的红球数，则X的取值为0，1，2。此时，“两只红球”=“X取到值2”,可记为{X=2}

“一红一黑”={X=1},“两只白球”＝{X=0}试验结果的数量化随机变量的类型

离散型

连续型随机变量的所有取值是有限个或可数个

非离散型也非连续型

设离散型随机变量X的所有可能取值是x1,x2,…,xk,…，而X取值xk的概率为pk

称以上为离散型随机变量X的分布律。

p1

，p2

，…pK…

P

x1，x2，…xk，…X其中

随机变量X的概率分布全面表达了X的可能取值以及取各个值的概率情况

例1袋中有5个球，分别编号1、2、…、5，从中同时取出3个球，用X表示取出的球的最大号码，求X的分布律。对于求离散型随机变量的问题，通常要解决两点：1、问题中随机变量可能取些什么值？2、随机变量取这些值的概率是多少？练习：袋中有5个球，分别编号1、2、…、5，从中同时取出3个球，用X表示取出的球的最小号码，求X的分布律。

例2一批零件中有10个合格品，3个次品，安装机器时，从这批零件中任取一个，取到合格品才能安装。若取出的是次品，则不再放回.求在取得合格品前已取出的次品数 X的分布律。三种常见的离散型分布（1）0-1分布

则称X的分布为0-1分布（两点分布）。△定义：若随机变量X的分布律为:1－ppP01X（2）二项分布

在n重伯努利试验中，设事件发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为。其中则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为

在概率论中，二项分布是一个非常重要的分布，很多随机现象都可用二项分布来描述。

例如在次品率为p的一批产品中有放回地任取n件产品，以X表示取出的n件产品中的次品数，则X服从参数为n，p的二项分布X～B(n,p)。

如果这批产品的批量很大，则采用无放回方式抽取n件产品时，也可认为X服从参数为n，p的二项分布X～B(n,p)。例3从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率均为0.25，设为途中遇到红灯的次数X，求随机变量X的分布律及至多遇到一次红灯的概率。（3）泊松分布设随机变量X的分布律为则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X～P()服务台在某时间段内接待的服务次数X；交换台在