四川省达州市新市中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

四川省达州市新市中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数图象交点的横坐标所在区间是()A.（1，2） B.（2，3） C.（3，4） D.（1，5）参考答案：C试题分析：设的零点在区间与图象交点的横坐标所在区间是，故选C．考点：曲线的交点．【方法点晴】本题考曲线的交点，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型．设的零点在区间与图象交点的横坐标所在区间是2.双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则n的值为A．1

B.4

C.8

D.12参考答案：D略3.已知函数在处的切线与直线垂直，则（

）A．2

B．0

C．1

D．－1参考答案：C由题可知：函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为-1，故=-1得1，故选C.

4.双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为(

)A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x参考答案：C【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．【专题】计算题；综合题．【分析】由于线段PF1的中点M落在y轴上，连接MF2，则|MF1|=|MF2|=|PM|=|PF1|?△PF1F2为直角三角形，△PMF2为等边三角形，于是|PF1|﹣|PF2|=|MF1|=2a，|F1F2|=2c=|MF1|=2a?c=a，由c2=a2+b2可求得b=a，于是双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：连接MF2，由过点PF1作倾斜角为30°，线段PF1的中点M落在y轴上得：|MF1|=|MF2|═|PM|=|PF1|，∴△PMF2为等边三角形，△PF1F2为直角三角形，∵是|PF1|﹣|PF2|=|MF1|=2a，|F1F2|=2c=|MF1|=2a∴c=a，又c2=a2+b2，∴3a2=a2+b2，∴b=a，∴双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±=±x．

故选C．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，关键是对双曲线定义的灵活应用及对三角形△PMF2为等边三角形，△PF1F2为直角三角形的分析与应用，属于难题．5.设，，，则、、从小到大的排列顺序是

.参考答案：c＜a＜b

略6.在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上依次取点E，F，G，H，若EH、FG所在直线相交于点P，则(

) A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC外

D．点P必在平面ABC内参考答案：B略7.函数的零点所在的大致区间是

（

）A．（1，2） B．（2，e） C．（e,3） D．（e,+）参考答案：B8.已知直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，则a=（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0参考答案：D考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题： 直线与圆．分析： 直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系，然后求解关于a的方程得答案．解答： 解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，∴1×a+1×a=0，即2a=0，解得：a=0．故选：D．点评： 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题．9.下列推理合理的是A．是增函数，则B．因为、），则（是虚数单位）C．、是锐角的两个内角，则D．直线，则（、分别为直线、的斜率）参考答案：C10.以下结论不正确的是

（

）A．根据2×2列联表中的数据计算得出K2≥6.635,而P（K2≥6.635）≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B．在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小C．在回归分析中，相关指数R2越大，说明残差平方和越小，回归效果越好D．在回归直线中，变量x=200时，变量y的值一定是15参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知长方体，，则异面直线所成的角是

．参考答案：12.若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则（a0+a2+a4）2－（a1+a3）2

的值为______________________参考答案：113.在无重复数字的五位数a1a2a3a4a5中，若a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5时称为波形数，如89674就是一个波形数，由1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数为：n==120，由五位数是波形数，知a2＞a1、a3；a4＞a3、a5，从而a2只能是3、4、5．由此利用分类讨论思想求出满足条件的五位数有2（A22+A33）个，由此能求出结果．【解答】解：由1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，基本事件总数为：n==120，∵五位数是波形数，∴a2＞a1、a3；a4＞a3、a5，∴a2只能是3、4、5．①若a2=3，则a4=5，a5=4，a1与a3是1或2，这时共有A22=2个符合条件的五位数．②若a2=4，则a4=5，a1、a3、a5可以是1、2、3，共有A33=6个符合条件的五位数．③若a2=5，则a4=3或4，此时分别与（1）（2）情况相同．∴满足条件的五位数有：m=2（A22+A33）=16个，∴由1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是p=．故答案为：．14.在△ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则=．参考答案：【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】根据题意，以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC是矩形，由勾股定理求出BC=2．过A作AE⊥BC于E，算出BE=，最后结合数量积的公式和直角三角形余弦的定义，即可算出的值．【解答】解：以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，则=+∵=∴四边形ABDC是矩形过A作AE⊥BC于E∵Rt△ABC中，，∴BC==2，可得斜边上的高AE==因此，BE==∵=，cos∠ABC=∴==1，可得=故答案为：15.=_______________.参考答案：略16.设P:；Q：，若P是Q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_________.参考答案：0a1/2

略17.已知集合，，则

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析．（ⅰ）列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求抽取的2所学校均为小学的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目；（2）（i）从抽取的6所学校中随机抽取2所学校，所有结果共有=15种，按规律列举即可；（ii）先列举抽取结果两所学校均为小学的基本事件数，再利用古典概型概率的计算公式即可得结果【解答】解：（I）抽样比为=，故应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为21×=3，14×=2，7×=1（II）（i）在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为1、2、3，两所中学分别记为a、b，大学记为A则抽取2所学校的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{1，a}，{1，b}，{1，A}，{2，3}，{2，a}，{2，b}，{2，A}，{3，a}，{3，b}，{3，A}，{a，b}，{a，A}，{b，A}，共15种（ii）设B={抽取的2所学校均为小学}，事件B的所有可能结果为{1，2}，{1，3}，{2，3}共3种，∴P（B）==19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，且DB平分，E为PC的中点，,

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）证明（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值

参考答案：20.（12分）从抛物线y2=32x上各点向x轴作垂线，其垂线段中点的轨迹为E．

（Ⅰ）求轨迹E的方程；

（Ⅱ）已知直线l：y=k（x-2）（k＞0）与轨迹E交于A，B两点，且点F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的长．参考答案：解：（Ⅰ）设垂线段的中点M（x，y），P（x0，y0）是抛物线上的点，D（x0，0），因为M是PD的中点，所以x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，因为点P在抛物线上，所以y02=32x，即4y2=32x，所以y2=8x，所求点M轨迹方程为：y2=8x．（Ⅱ）抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为x=-2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=2|BF|，∴x1+2=2（x2+2），∴x1=2x2+2∵|y1|=2|y2|，∴x1=4x2，∴x1=4，x2=1，∴|AB|=x1+x2+p=9．21.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为1m的有盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b满足关系，现有制箱材料30，则当a,b各为多少时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？（A、B孔的面积不计）

参考答案：解：依题意，可知所求的值应使最大根据题设，有即…………4’法一：…………6’…………9’当且仅当时，取最小值，此时，………13’答：当，时