高中数学苏教版第二章平面解析几何初步学业分层测评24

学业分层测评(二十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且PA＝PB，则点P的坐标为________．【解析】设P(0,0，c)，由题意得eq\r(0－12＋0＋22＋c－12)＝eq\r(0－22＋0－22＋c－22)，解得c＝3，∴点P的坐标为(0,0,3)．【答案】(0,0,3)2．已知平行四边形ABCD，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为__________．【解析】由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4，－1)).设D(x，y，z)，则eq\f(7,2)＝eq\f(x＋2,2)，4＝eq\f(－5＋y,2)，－1＝eq\f(1＋z,2)，∴x＝5，y＝13，z＝－3，∴D(5,13，－3)．【答案】(5,13，－3)3．△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图2­3­13所示，则BC边上的中线的长是________．图2­3­13【解析】BC的中点坐标为(1,1,0)．又A(0,0,1)，∴AM＝eq\r(12＋12＋－12)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则AB＝________.【解析】点B的坐标为B(2，－3，－5)，∴AB＝eq\r(2－22＋－3＋32＋5＋52)＝10.【答案】105．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．【解析】设P(x，y，z)，由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,y2＋z2＝1，,x2＋z2＝1，))∴x2＋y2＋z2＝eq\f(3,2)，∴eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(\r(6),2).【答案】eq\f(\r(6),2)6.图2­3­14在如图2­3­14所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4,4,2)，E，F分别为BC，A′B′的中点，则EF的长为________．【解析】由C′(4,4,2)知，B(4,0,0)，C(4,4,0)，A′(0,0,2)，B′(4,0,2)．由中点坐标公式得，E(4,2,0)，F(2,0,2)，∴EF＝eq\r(4－22＋2－02＋0－22)＝2eq\r(3).【答案】2eq\r(3)7．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小，则M点坐标为________.【导学号：60420235】【解析】设M点坐标为(x,1－x,0)，则MN＝eq\r(x－62＋1－x－52＋0－12)＝eq\r(2x－12＋51)≥eq\r(51)(当x＝1时，取“＝”)，∴M(1,0,0)．【答案】(1,0,0)8．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是__________．【解析】设正方体的棱长为a，则eq\r(3)a＝AB＝eq\r(42＋－42＋42)＝4eq\r(3)，所以a＝4，V＝43＝64.【答案】64二、解答题图2­3­159．如图2­3­15，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，求B1E【解】如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)，在坐标平面xOy内，直线AC的方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,4)＝1，即2x＋y－4＝0，DE⊥AC，直线DE的方程为x－2y＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0，,x－2y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5)，0)).∴B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)－2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)－4))2＋0－22)＝eq\f(6\r(10),5)，即B1E的长为eq\f(6\r(10),5).10．如图2­3­16(1)，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4.将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD.现以D为坐标原点，射线DB为y轴的正方向，建立如图2­3­16(2)所示空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy平面内，试求A，C两点的坐标．图2­3­16【解】由题意知，在直角坐标系D­xyz中，B在y轴的正半轴上，A，C分别在xDy平面、yDz平面内．在xDy平面内过点A作AE垂直y轴于点E，则点E为点A在y轴上的射影．在Rt△ABD中，由AD＝3，AB＝4，得AE＝eq\f(12,5)，从而ED＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\f(9,5).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(9,5)，0))，同理，在yDz平面内过点C作CF垂直y轴于点F，则点F为点C在y轴上的射影，CF＝eq\f(12,5)，DF＝eq\f(16,5)，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(16,5)，\f(12,5))).[能力提升]图2­3­171．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是(1)点D，N，M的坐标为________，________，________.(2)MD＝________，MN＝________.【解析】(1)因为D是原点，则D(0,0,0)．由AB＝BC＝2，D1D＝3，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)．(2)由两点间距离公式，得MD＝eq\r(1－02＋2－02＋3－02)＝eq\r(14)，MN＝eq\r(1－22＋2－12＋3－02)＝eq\r(11).【答案】(1)(0,0,0)(2,1,0)(1,2,3)(2)eq\r(14)eq\r(11)2．已知△ABC的三个顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－4,2,3)，则它在yOz平面上的射影所组成的△A′B′C′的面积是________．【解析】A，B，C三点在yOz平面上的射影为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，△A′B′C′是以B′为直角的Rt△，∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×1×2＝1.【答案】13．三棱锥各顶点的坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)，则三棱锥的体积为________．【解析】V＝eq\f(1,3)S·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×3＝1.【答案】1图2­3­184．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB(1)在平面ABB1A1中找一点P，使△ABP(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为直角三角形？若能，请求出点Q的坐标，若不能，请予以证明．【解】(1)因为EF是AB边的中垂线，在平面AB1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，则P必在EF上，设P(1,2，z)，则由|PA|＝|AB|，得eq\r(1－22＋2－02＋z－02)＝eq\r(0－22＋4－02＋0－02)，即eq\r(z2＋5)＝eq\r(20)，∴z2＝15.∵z∈[0,4]，∴