2022年湖南省长沙市望岳中学高二数学文模拟试题含解析

2022年湖南省长沙市望岳中学高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解详解：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，设的根为，极大值点在处取得则解得，故选C。点睛：极值转化为最值的性质：1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；2.两人约定在8点到9点之间相见，且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，则两人在约定时间内能相见的概率是

（

）A．

B．

C． D．参考答案：B略3.若，则下列结论不成立的是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.设变量x，y满足约束条件,则目标函数z＝2x＋3y的最小值为 ()．A．6

B．7

C．8

D．23参考答案：B略5.法国数学家费马观察到，，，都是质数，于是他提出猜想：任何形如N*）的数都是质数，这就是著名的费马猜想.半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明

A．归纳推理，结果一定不正确

B．归纳推理，结果不一定正确

C．类比推理，结果一定不正确

C．类比推理，结果不一定正确参考答案：B6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为

(

)A.

B.

C.或

D.或参考答案：D7.对任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（）A． B．e C．e D．2e参考答案：A【考点】函数恒成立问题；利用导数求参数的范围．【分析】通过参数分离，利用基本不等式放缩可知问题转化为2lna≤在x＞0时恒成立，记g（x）=，二次求导并结合单调性可知当x=4时g（x）取得最小值g（4）=1，进而计算即得结论．【解答】解：设f（x）=ex+y﹣4+ex﹣y+4+6，不等式4xlna≤ex+y﹣4+ex﹣y+4+6恒成立，即为不等式4xlna≤f（x）恒成立．即有f（x）=ex（ey﹣4+e﹣（y﹣4））+6≥6+2ex（当且仅当ey﹣4=e﹣（y﹣4），即y=0时，取等号），由不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，只需要4xlna≤6+2ex﹣4，即有2lna≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即（x﹣1）ex﹣4=3，令h（x）=（x﹣1）ex﹣4，（x＞0），h′（x）=xex﹣4＞0，∵x＞0，ex﹣4＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵h（4）=3，即有（x﹣1）ex﹣4=3的根为4，∴当x＞4时g（x）递增，当0＜x＜4时g（x）递减，∴当x=4时，g（x）取得最小值g（4）=1，∴2lna?1，lna?，∴0＜a?，（当x=2，y=0时，a取得最大值），故选A．【点评】本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．8.椭圆的左右焦点分别为,点在第一象限，且在椭圆C上，点在第一象限且在椭圆C上，满足,则点的坐标为（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：A略9.函数y=的定义域为A，全集为R，则?RA为(

)A．（，1]B．∪（1，+∞）D．（﹣∞，]∪参考答案：C10.下列求导运算正确的是（）A．（3x）′=x?3x﹣1B．（2ex）′=2ex（其中e为自然对数的底数）C．（x2）′=2xD．（）′=参考答案：B【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则和基本导数公式求导即可．【解答】解：（3x）′=ln3?3x，故A错误，（2ex）′=2ex，正确，（x2）′=2x﹣，故C错误，（）′=，故D错误，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设F1、F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面积是______________.参考答案：1略12.已知为等差数列，，，为其前n项和，则使达到最大值的n等于

.参考答案：613.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝196，则x2＋y2的最小值是________．参考答案：114.某班有名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计该班学生成绩在以上的人数为 人。参考答案：15.在中，已知，则

．参考答案：略16.已知等差数列共有项，其中奇数项和为290，偶数项和为261，则参考答案：29略17.设函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=_；若函数f（x）与y=k存在两个交点，则实数k的取值范围是．参考答案：﹣2；（0，1]考点： 函数的图象；函数的值；函数的零点与方程根的关系．

专题： 函数的性质及应用．分析： 利用分段函数求解函数值即可．解答： 解：函数f（x）=，则f（﹣1）=4﹣1，f[f（﹣1）]=f（4﹣1）=log24﹣1=﹣2；函数f（x）与y=k的图象为：两个函数存在两个交点，则实数k的取值范围：0＜k≤1．故答案为：﹣2；（0，1]．点评： 本题考查函数的值的求法，函数的图象以及函数的零点的求法，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知不等式ax2－3x＋6＞4的D解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)当时，解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.参考答案：(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b＞1且a＞0.由根与系数的关系，得4分(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.5分因为c＞2，所以不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}.19.已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R），曲线y=f(x)在点（1，f（1））处的切线方程为y=－2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于[－2,2]上任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．参考答案：（1）由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质建立a，b的方程，然后求解即可；（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x1）﹣f（x2）|≤c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；（3）由题意，若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解．解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3．根据题意，得即解得所以f（x）=x3﹣3x．（2）令f'（x）=0，即3x2﹣3=0．得x=±1．列表如下：所以当x∈[﹣2，2]时，f（x）max=2，f（x）min=﹣2．因此对于[﹣2，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=4，所以c≥4．所以c的最小值为4．（3）因为点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，所以可设切点为（x0，y0）．则y0=x03﹣3x0．因为f'（x0）=3x02﹣3，所以切线的斜率为3x02﹣3．则3x02﹣3=，即2x03﹣6x02+6+m=0．因为过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以方程2x03﹣6x02+6+m=0有三个不同的实数解．所以函数g（x）=2x3﹣6x2+6+m有三个不同的零点．则g'（x）=6x2﹣12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2．当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，函数g（x）在此区间单调递增；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）在此区间单调递减；所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足：，即，解得﹣6＜m＜2．20.如图，已知圆C的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线l的方程为：x+2y﹣3=0．（1）求m的取值范围；（2）若圆与直线l交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）将圆的方程化为标准方程：，若为圆，须有，解出即可；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得OP、OQ所在直线互相垂直，即kOP?kOQ=﹣1，亦即x1x2+y1y2=0，根据P、Q在直线l上可变为关于y1、y2的表达式，联立直线方程、圆的方程，消掉x后得关于y的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得m的方程，解出即可；【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程为：，依题意得：，即m＜，故m的取值范围为（﹣∞，）；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得：OP、OQ所在直线互相垂直，则kOP?kOQ=﹣1，即，所以x1x2+y1y2=0，又因为x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，所以（3﹣2y1）（3﹣2y2）+y1y2=0，即5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①，将直线l的方程：x=3﹣2y代入圆的方程得：5y2﹣20y+12+m=0，所以y1+y2=4，，代入①式得：，解得m=3，故实数m的值为3．21.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线与圆相交于两点，是的中点，.(1)求圆的标准方程；(2)求直线的方程.参考答案：(1)设圆的半径为，因为圆与直线相切，∴，∴圆的方程为.(2)①当直线与轴垂直时，易知符合题意；②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，连接，则，∵，∴，则由得，∴直线为：，故直线的方程为或.22.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别