2022年度河南省商丘市第二高级中学高一数学理联考试卷含解析

2022年度河南省商丘市第二高级中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是正三角形内部一点，，则的面积与的面积之比是(

)

（A）

（B）

（C）2

（D）参考答案：B略2.过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的()A．B．C．D．参考答案：B3.（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BB1BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1．上的投影为图中的（） A． B． C． D． 参考答案：A考点： 平行投影及平行投影作图法．专题： 综合题．分析： 根据正方体的性质，可以分别看出三个点在平面ADD1A1上的投影，有一个特殊点D，它的投影是它本身，另外两个点的投影是通过垂直的性质做出的，连接三个投影点，得到要求的图形．解答： 由题意知D点在投影面上，它的投影就是它本身，N在平面上的投影是AD棱的中点，M在平面上的投影是AA1的中点，故选A．点评： 本题考查平行投影及平行投影作图法，考查面面垂直的性质，考查正方体的特点，是一个基础题，也是一个容易得分的题目．4.正四面体（四个面都为正三角形）ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为（）A．90° B．60° C．45° D．30°参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正四面体的几何特征，我们可得所有棱长均相等，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形三线合一的性质，我们易得AE⊥CD，BE⊥CD，由线面垂直的判定定理我们可得CD⊥平面ABE，结合线面垂直的性质即可判断出异面直线AB与CD所成角．【解答】解：如下图所示，AD=AC，BC=BD，取CD的中点E，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD，又由AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，又∵AB?ABE，∴AB⊥CD，∴AB与CD所成的角为90°，故选：A．5.关于空间两条直线a，b和平面α，下列命题正确的是()A．若a∥b，b?α，则a∥α

B．若a∥α，b?α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b

D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b参考答案：D略6.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，那么a4的值为()．A.4 B.8 C.15 D.31参考答案：C试题分析：，，，故选C.7.如图是2018年我校举办“激扬青春,勇担责任”演讲比赛大赛上,七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的中位数和平均数分别为(

)A.85；87 B.84；86 C.85；86 D.84；85参考答案：D【分析】根据中位数和平均数的定义，去掉最高分和最低分后计算即可得到结果.【详解】去掉最高分：93；最低分：79中位数为：84；平均数为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用茎叶图求解中位数和平均数的问题，属于基础题.8.设正实数a，b满足3a=7b，下面成立的是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】设3a=7b=t，（t＞0），则a=log3t，b=log7t，从而=log7t×logt3=log73，根据对数函数的单调性即可比较与和1的大小.【详解】∵正实数a，b满足3a=7b，∴设3a=7b=t，（t＞0），则a=log3t，b=log7t，∴=log7t×logt3==log73，∴．故选：B．【点睛】本题考查两数比值的范围的求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.已知直线与直线垂直，则的值为（

）． A． B． C． D．参考答案：D∵两直线垂直，∴，解得．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列满足,若,则________.参考答案：812.已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为

．参考答案：

【考点】三角函数的化简求值．【分析】将分子分母同除以cosα，利用同角三角函数基本关系式可求tanα=3，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵==2，解得：tanα=3，∴sin2α﹣sinαcosα====．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．13.已知，则从小到大用“﹤”号排列为___________.参考答案：略14.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是直径为1的圆，这个几何体的体积为

。参考答案：略15.已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则m的值是

．参考答案：8考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用直线平行的充要条件，求解即可．解答： 解：直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，可得m=8，故答案为：8．点评：本题考查在的平行的条件的应用，基本知识的考查．16.下列命题中，正确的是

①平面向量与的夹角为，，，则；②已知，是平面内两个非零向量，则平面内任一向量都可表示为，其中；③已知，，其中，则；④是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心。参考答案：①③④略17.用秦九韶算法计算多项式当x=0．4时的值时，需要做乘法和加法的次数共

次．参考答案：12略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中且，又.（1）求实数a的值；（2）若，求函数f(x)的值域.参考答案：（1）a=2（2）本题考查函数的性质。（1）由，得：，解得：，又∵且，∴a=2（2）由（1）知：，设，，∴，则，易知，f(t)在内单调递增，故，，故：f(x)的值域为。19.函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值及函数f（x）的值域；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）变形可得f（x）=2sin（ωx+），由又由三角形的知识和周期公式可得ω=，由振幅的意义可得值域；（2）由已知和（1）的解析式可得sin（x0+）=，进而由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos（x0+）=，代入f（x0+1）=2sin（x0++）=2×计算可得．【解答】解：（1）由已知得f（x）=6cos2+sinωx﹣3=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+）又△ABC为正三角形，且高为2，可得BC=4．∴函数f（x）的最小正周期为8，即=8，解得ω=，∴f（x）=2sin（x+），∴函数f（x）的值域为：；（2）∵f（x0）=，∴2sin（x0+）=，故sin（x0+）=，∵x0∈（﹣，），∴x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2×=20.已知函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=（1）求实数m，n的值（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）奇函数在原点有定义时，f（0）=0，从而可求得n=0，而由可求出m；（2）根据增函数的定义，设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，通过作差的方法证明f（x1）＜f（x2）即可．【解答】解：（1）∵f（x）为（﹣1，1）上的奇函数∴f（0）=0；∴n=0；∵；∴；∴m=1；（2）f（x）=；设x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则：=；∵x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2；∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．【点评】考查奇函数的定义，以及根据增函数的定义证明函数为增函数的方法与过程．21.已知函数的图象过点，且f（x）的最大值为2.（1）求f(x)的解析式，并写出其单调递增区间；

（2）若函数f(x)的图象按向量作距离最小的平移后，所得图象关于y轴对称，试求向量的坐标以及平移后的图象对应的函数解析式.参考答案：解析：（1）f(x)=asin2x+bcos2x=

由已知条件得

∴

于是由f(x)单调递增得

∴所求f(x)的递增区间为.

（2）注意到故函数y＝f(x)图象按向量平移后的图象对应的函数解析式为即①

注意到函数①的图象关于y轴对称∴函数①为偶函数

∴

∴.②

在②中令

由此得③注意到当k为偶数时③无解，故由③得

∴∴m的绝对值最小的取值为

此时且由①得

因此，所求向量，平移后的图象对应的函数解析式为y＝cos2x.

22.（10分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案：考点： 根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．专题： 应用题；压轴题．分析： （Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．解答： 解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时