2022年度北京左家庄中学高三数学理模拟试题含解析

2022年度北京左家庄中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A. B.4C. D.8参考答案：C【分析】先还原几何体，再根据正方体以及三棱锥体积公式求结果.【详解】本题的多面体是从长为2的正方体中，在上底的四个角处，分别切割四个相同的三棱锥余下的部分.正方体体积为8，割去部分的体积为，故该多面体的体积为.选C.【点睛】本题考查三视图以及三棱锥体积公式，考查基本分析求解能力，属基本题.2.已知向量，，，，，则（

）A．1

B．13

C．

D．4

参考答案：C试题分析：考点：平面向量的数量积.3.设，则A.

B.

C.

D.2参考答案：B4.若命题，；命题，.则下面结论正确的是A.是假命题

B.是真命题

C.是假命题

D.是真命题参考答案：D5.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第四象限

B．第三象限

C．第二象限

D．第一象限参考答案：D6.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（）A.-5

B.1C.2

D.3参考答案：D略7.若不等式对于一切成立，则a的取值范围是 A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若点恰好在的垂直平分线上，则的长度为A.

B.

C.

D.参考答案：D【考点】抛物线【试题解析】由题知：F（1，0），若点恰好在的垂直平分线上，则FA=PF，

所以所以。

所以PA=

9.双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则=（

）A．4B．2C．D．参考答案：A试题分析：由题可知，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则有，于是，在双曲线中，，，即，；考点：双曲线的性质10.下列命题中正确的是

（

）

A．

B．设则必有

C．设则函数是奇函数

D．设，则参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若且则的取值范围为

参考答案：略12.若满足条件的最大值为__________．参考答案：7由题,画出可行域为如图区域，，当在处时，.13.已知函数，则

.参考答案：9【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式.【试题分析】函数，令，解得.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知，故答案为9.7.设常数a∈R.若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a=

.参考答案：-215.若数列满足，，则

；前5项的和

.参考答案：由，得数列是公比为2的等比数列，所以，。16.在三棱锥P﹣ABC中，PB=6，AC=3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为．参考答案：解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．由作图可知：EN∥FM，∴四点EFMN共面可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM．∴=，可得EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．∴截面的周长为8．故答案为：8．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，过G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F．过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．由作图可知：四点EFMN共面．可得=，EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．解答：解：如图所示，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F过点F作FM∥PB交BC于点M，过点E作EN∥PB交AB于点N．由作图可知：EN∥FM，∴四点EFMN共面可得MN∥AC∥EF，EN∥PB∥FM．∴=，可得EF=MN=2．同理可得：EN=FM=2．∴截面的周长为8．故答案为：8．点评：本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力用途计算能力，属于中档题17.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成角时，AB与b成角；②当直线AB与a成角时，AB与b成角；③直线AB与a所成角的最小值为；④直线AB与a所成角的最大值为．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）参考答案：②③由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1，故，，斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．则，，直线的方向单位向量，．点起始坐标为，直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标，其中为与的夹角，．那么在运动过程中的向量，．设与所成夹角为，则．故，所以③正确，④错误．设与所成夹角为，.当与夹角为时，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此时与夹角为．∴②正确，①错误．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f(x)＝若，求实数a的取值范围。参考答案：－2<a<1.当x≥0时f(x)＝x2＋4x，可知f(x)在[0，＋∞)上递增，当x<0时f(x)＝4x－x2，可判断f(x)在(－∞，0)上递增，故f(2－a2)>f(a)?2－a2>a，即a2＋a－2<0.解得－2<a<1.19.如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．参考答案：【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型；空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．20.已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标．由，利用平方关系可得普通方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），对于直线l的极坐标利用互化公式可得直线l的普通方程．设，则，利用点到直线的距离公式可得点M到直线l的距离，再利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标，由，得，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0可得直线l的普通方程为x+2y+1=0，设，则，则点M到直线l的距离，∴点M到直线l的最小距离为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，当（x﹣2）（x+1）≤0时，取等号，由此f（x）的最小值是3．（2）关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，当（x﹣2）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤2时，取等号，∴f（x）的最小值是3．（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|（x﹣a）﹣（x+1）|=|a+1|，当（x﹣a）（x+1）≤0时取等号，∴若关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，解得﹣3＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣3，1）．【点评】本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．22.（12分）已知椭圆的离心率为，且短轴长为，是椭圆的左右两个焦点，若直线过，倾斜角为,交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程.（2）求的周长与面积.参考答案：【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案解析】（1）

（2）8；（1）∵离心率为，且短轴长为2，∴解得：c2=，a2=6，b2=3，

∴椭圆C的标准方程为=1；

（2）设△ABF1的周长为l，

则l=|AB|+||BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8，F2（1，0），