2022年广东省揭阳市业余中学高一数学文联考试题含解析

2022年广东省揭阳市业余中学高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图像上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标保持不变），则所得到的图像的函数解析式是（

）A．

B．C．

D．

参考答案：C略2.函数的单调递增区间是

（

）A．

B.C．

D.参考答案：C略3.设，且满足，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为A. B. C. D.1参考答案：C5.已知，则等于（

）Ks5u

A．

B． C． D．参考答案：A略6.函数的零点所在区间为（

）A．(－4,－3)

B．(－3,－e)

C.(－e,－2)

D．(－2,－1)参考答案：B7.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图且全等的等腰三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么几何体的体积为（

）A．1

B．

C．

D．参考答案：D8.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0，恰有4个不同的实数根，则实数a（a＞0，a≠1）的取值范围是（）A．（，1） B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质，及当x∈[﹣2，0]时，函数解析式，画出函数f（x）的图象，则数y=f（x）与y=loga（x+2），在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，由对数函数的运算性质，即可求得a的取值范围．【解答】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0，恰有4个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2），在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=loga（x+2），根据题意可得，当x=6时的函数值小于1，即loga8＜1，由此计算得出：a＞8，∴a的范围是（8，+∞），故选D．9.函数y=cos(-2x)的单调递增区间是(

).A.[kπ+,kπ+]（k∈Z）

B.[kπ-，kπ+]（k∈Z）C.[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）

D.[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）参考答案：B略10.（5分）函数y=log2x的反函数是（） A． y=﹣log2x B． y=x2 C． y=2x D． y=logx2参考答案：C考点： 反函数．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用指数式与对数式的互化即可得出．解答： 由函数y=log2x解得x=2y，把x与y互换可得y=2x，x∈R．∴函数y=log2x的反函数是y=2x，x∈R．故选：C．点评： 本题考查了反函数的求法、指数式与对数式的互化，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：2【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键．12.设实数x，y满足，，则的取值范围是

.参考答案：[2,27]因为，,所以.

13.直线2x+ay=2与ax+（a+4）y=1垂直，则a的值为

．参考答案：0或﹣6【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，求得a的值．【解答】解：∵直线2x+ay=2与ax+（a+4）y=1垂直，∴2a+a（a+4）=0，解得a=0或﹣6，故答案为0或﹣6．14.已知则

参考答案：略15.已知函数，x∈（k＞0）的最大值和最小值分别为M和m，则M+m=__________．参考答案：8考点：函数的最值及其几何意义．专题：整体思想；构造法；函数的性质及应用．分析：由函数f（x）变形，构造函数g（x）=log2（x+）+，x∈（k＞0），判断它为奇函数，设出最大值和最小值，计算即可得到所求最值之和．解答：解：函数=log2（x+）+5﹣=log2（x+）++4，构造函数g（x）=log2（x+）+，x∈（k＞0），即有g（﹣x）+g（x）=log2（﹣x+）++log2（x+）+=log2（1+x2﹣x2）++=0，即g（x）为奇函数，设g（x）的最大值为t，则最小值即为﹣t，则f（x）的最大值为M=t+4，最小值为m=﹣t+4，即有M+m=8．故答案为：8．点评：本题考查函数的最值的求法，注意运用构造函数，判断奇偶性，考查运算能力，属于中档题．16.给出一系列化合物的分子式：C6H6，C10H8，C14H10，…，若该系列化合物的分子式可以无限增大，则该系列化合物分子式中含碳元素的质量分数的极限值为

%。参考答案：9617.函数的定义域是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，，且，设，绿地面积为.（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当为何值时，绿地面积最大？参考答案：（1）由题意可知：，…………2分，

…………3分所以…………5分故函数解析式为：…………6分（2）因为……8分当，即时，则时，取最大值，……9分当，即时，在上是增函数，则时，取最大值.

综上所述：当时，时，绿地面积取最大值;当时，时，绿地面积取最大值.

……12分19.已知，设．（1）求的最小正周期；（2）在△ABC中，已知A为锐角，，BC=4，AB=3，求的值.参考答案：（1）

（2）【分析】（1）先根据向量坐标运算和正弦的二倍角公式求出f（x）的解析式，在由周期公式即可求得函数的周期；（2）由（1）和可求出sinA和cosA，再根据正弦定理可求得sinC和cosC，然后根据sinB=sin（A+C）即可求得.【详解】（1）所以的最小正周期为（2）因为所以由正弦定理得：=【点睛】本题重点考查了三角函数的化简和利用正弦定理求解三角形，属于中档题目，解题中需要熟练掌握三角函数的二倍角公式、和角公式，对字母运算能力要求较高.20.如图，在空间四边形ABDP中，AD?α，AB?α，AB⊥AD，PD⊥α，且PD＝AD＝AB，E为AP中点．(1)请在∠BAD的平分线上找一点C，使得PC∥平面EDB；(2)求证：ED⊥平面EAB.参考答案：(1)设∠BAD的平分线交BD于O，延长AO，并在平分线上截取AO＝OC，则点C即为所求的点．证明：连接EO、PC，则EO为△PAC的中位线，所以PC∥EO，而EO?平面EDB，且PC?平面EDB，∴PC∥平面EDB.(2)∵PD＝AD，E是边AP的中点，∴DE⊥PA①又∵PD⊥α(平面ABD)，∴PD⊥AB，由已知AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，而DE?平面PAD，∴AB⊥DE②由①②及AB∩PA＝A得DE⊥平面EAB.21.已知定义在上的函数是偶函数，且时，

，(1)求解析式；(2)写出的单调递增区间。参考答案：解：（1）时，-x>0∵时

∴∵是偶函数，时，；

（2）,

略22.数列{an}的前n项和.（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使成立的实数m最小值.参考答案：（1）；（2），.【分析】（1）由已知可先求得首项，然后由，得，两式相减后可得数列的递推式，结合得数列是等比数列，从而易得通项公式；（2）对数列可用错位相